VETORES NÃO COPLANARES: DEFINIÇÃO, CONDIÇÕES, EXERCÍCIOS - FISICA - 2024

Os vetores não coplanares são aqueles que não compartilham o mesmo plano. Dois vetores livres e um ponto definem um único plano. Um terceiro vetor pode ou não compartilhar esse plano e, se não compartilhar, eles são vetores não coplanares.

Os vetores não coplanares não podem ser representados em espaços bidimensionais como um quadro negro ou uma folha de papel, porque alguns deles estão contidos na terceira dimensão. Para representá-los adequadamente, você deve usar a perspectiva.

Figura 1. Vetores coplanares e não coplanares. (Elaboração própria)

Se olharmos para a figura 1, todos os objetos mostrados estão estritamente no plano da tela, porém graças à perspectiva nosso cérebro é capaz de imaginar um plano (P) que sai dela.

Nesse plano (P) estão os vetores r, s, u, enquanto os vetores v e w não estão nesse plano.

Portanto, os vetores r, s, u são coplanares ou coplanares entre si, uma vez que compartilham o mesmo plano (P). Vectores de v e w não partilham um avião com qualquer dos outros vectores mostrados, por conseguinte, eles são não-coplanares.

Vetores coplanares e equação do plano

Um plano é definido exclusivamente se houver três pontos no espaço tridimensional.

Suponha que esses três pontos sejam o ponto A, o ponto B e o ponto C que definem o plano (P). Com estes pontos é possível construir dois vetores AB = u e AC = v que são por construção coplanares com o plano (P).

O produto vetorial (ou produto cruzado) desses dois vetores resulta em um terceiro vetor perpendicular (ou normal) a ambos e, portanto, perpendicular ao plano (P):

n = u X v => n ⊥ u e n ⊥ v => n ⊥ (P)

Qualquer outro ponto que pertença ao plano (P) deve satisfazer que o vetor AQ é perpendicular ao vetor n; Isso é equivalente a dizer que o produto escalar (ou produto escalar) de n com AQ deve ser zero:

n • AQ = 0 (*)

A condição anterior é equivalente a dizer que:

AQ • (u X v) = 0

Esta equação garante que o ponto Q pertence ao plano (P).

Equação cartesiana do plano

A equação acima pode ser escrita na forma cartesiana. Para fazer isso, escrevemos as coordenadas dos pontos A, Q e os componentes do vetor normal n:

Portanto, os componentes do AQ são:

A condição para o vetor AQ estar contido no plano (P) é a condição (*) que agora é escrita assim:

O cálculo do produto escalar permanece:

Se for desenvolvido e reorganizado, permanece:

A expressão anterior é a equação cartesiana de um plano (P), em função das componentes de um vetor normal a (P) e das coordenadas de um ponto A pertencente a (P).

Condições para três vetores serem não coplanares

Como visto na seção anterior, a condição AQ • (u X v) = 0 garante que o vetor AQ é coplanar com u e v.

Se chamarmos o vetor de AQ w, então podemos afirmar que:

w, u e v são coplanares, se e somente se w • (u X v) = 0.

Condição de não coplanaridade

Se o produto triplo (ou produto misto) de três vetores for diferente de zero, então esses três vetores são não coplanares.

Se w • (u X v) ≠ 0 então os vetores u, v e w são não coplanares.

Se os componentes cartesianos dos vetores u, v e w são introduzidos, a condição de não coplanaridade pode ser escrita assim:

O triplo produto tem uma interpretação geométrica e representa o volume do paralelepípedo gerado pelos três vetores não coplanares.

Figura 2. Três vetores não coplanares definem um paralelepípedo cujo volume é o módulo do triplo produto. (Elaboração própria)

A razão é a seguinte; Quando dois dos vetores não coplanares são multiplicados vetorialmente, é obtido um vetor cuja magnitude é a área do paralelogramo que eles geram.

Então, quando este vetor é escalarmente multiplicado pelo terceiro vetor não coplanar, o que temos é a projeção para um vetor perpendicular ao plano que os dois primeiros determinam multiplicado pela área que eles determinam.

Em outras palavras, temos a área do paralelogramo gerada pelos dois primeiros multiplicada pela altura do terceiro vetor.

Condição alternativa de não coplanaridade

Se você tiver três vetores e nenhum deles puder ser escrito como uma combinação linear dos outros dois, então os três vetores são não coplanares. Ou seja, três vetores u, v e w são não coplanares se a condição:

α u + β v + γ w = 0

Ele só é satisfeito quando α = 0, β = 0 e γ = 0.

Exercícios resolvidos

-Exercício 1

Existem três vetores

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) ew = (-1, 2, z)

Observe que a componente z do vetor w é desconhecida.

Encontre a faixa de valores que z pode assumir, de modo que os três vetores não compartilhem do mesmo plano.

Solução

w • (u X v) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Definimos esta expressão igual ao valor zero

21 z + 18 = 0

e resolvemos para z

z = -18 / 21 = -6/7

Se a variável z assumisse o valor -6/7, os três vetores seriam coplanares.

Portanto, os valores de z que garantem que os vetores são não coplanares são aqueles no seguinte intervalo:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-Exercício 2

Encontre o volume do paralelepípedo mostrado na figura a seguir:

Solução

Para encontrar o volume do paralelepípedo mostrado na figura, serão determinadas as componentes cartesianas de três vetores não coplanares concorrentes na origem do sistema de coordenadas. O primeiro é o vetor u de 4m e paralelo ao eixo X:

u = (4, 0, 0) m

O segundo é o vetor v no plano XY de tamanho 3m que forma 60º com o eixo X:

v = (3 * cos 60º, 3 * sen 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m

E o terceiro é o vetor 5m w cuja projeção no plano XY forma 60º com o eixo X, ew forma 30º com o eixo Z.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Uma vez que os cálculos são realizados, temos: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Referências

1. Figueroa, D. Série: Física para Ciências e Engenharia. Volume 1. Cinemática. 31-68.
2. Fisica. Módulo 8: Vetores. Recuperado de: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Estático 6ª Edição. Continental Publishing Company 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Mecânica para Engenheiros: Estática e Dinâmica. 3ª edição. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vetor. Recuperado de: es.wikipedia.org