4 EXERCÍCIOS DE FACTORING COM SOLUÇÕES - MATEMÁTICAS - 2024

Os exercícios de fatoração auxiliam na compreensão dessa técnica, muito utilizada em matemática e que está em vias de escrever uma soma como produto de determinados termos.

A palavra fatoração se refere a fatores, que são termos que multiplicam outros termos. Por exemplo, na fatoração primo de um número natural, os números primos envolvidos são chamados de fatores.

Ou seja, 14 pode ser escrito como 2 * 7. Nesse caso, os fatores primos de 14 são 2 e 7. O mesmo se aplica a polinômios de variáveis ​​reais.

Ou seja, se você tem um polinômio P (x), então fatorar o polinômio consiste em escrever P (x) como o produto de outros polinômios de grau menor que o grau de P (x).

Factoring

Várias técnicas são usadas para fatorar um polinômio, incluindo produtos notáveis ​​e cálculo das raízes do polinômio.

Se tivermos um polinômio de segundo grau P (x), e x1 e x2 são as raízes reais de P (x), então P (x) pode ser fatorado como "a (x-x1) (x-x2)", onde "a" é o coeficiente que acompanha a potência quadrática.

Como as raízes são calculadas?

Se o polinômio for de grau 2, as raízes podem ser calculadas com a fórmula chamada "o resolvente".

Se o polinômio for de grau 3 ou mais, o método de Ruffini é geralmente usado para calcular as raízes.

4 exercícios de factoring

Primeiro exercício

Fatore o seguinte polinômio: P (x) = x²-1.

Solução

Nem sempre é necessário usar o resolvente. Neste exemplo, você pode usar um produto notável.

Reescrevendo o polinômio como segue, podemos ver qual produto notável usar: P (x) = x² - 1².

Usando o notável produto 1, diferença de quadrados, temos que o polinômio P (x) pode ser fatorado da seguinte maneira: P (x) = (x + 1) (x-1).

Isso indica ainda que as raízes de P (x) são x1 = -1 e x2 = 1.

Segundo exercício

Fatore o seguinte polinômio: Q (x) = x³ - 8.

Solução

Existe um produto notável que diz o seguinte: a³-b³ = (ab) (a² + ab + b²).

Sabendo disso, o polinômio Q (x) pode ser reescrito da seguinte forma: Q (x) = x³-8 = x³ - 2³.

Agora, usando o notável produto descrito, temos que a fatoração do polinômio Q (x) é Q (x) = x³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2²) = (x-2) (x² + 2x + 4).

O polinômio quadrático que surgiu na etapa anterior ainda precisa ser fatorado. Mas se você olhar para ele, o Produto Notável nº 2 pode ajudar; portanto, a fatoração final de Q (x) é dada por Q (x) = (x-2) (x + 2) ².

Isso diz que uma raiz de Q (x) é x1 = 2 e que x2 = x3 = 2 é a outra raiz de Q (x), que é repetida.

Terceiro exercício

Fator R (x) = x² - x - 6.

Solução

Quando um produto notável não pode ser detectado, ou a experiência necessária para manipular a expressão não está disponível, procedemos com o uso do resolvente. Os valores são os seguintes a = 1, b = -1 e c = -6.

Substituí-los na fórmula resulta em x = (-1 ± √ ((- 1) ² - 4 * 1 * (- 6))) / 2 * 1 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5)/dois.

A partir daqui, existem duas soluções que são as seguintes:

x1 = (-1 + 5) / 2 = 2

x2 = (-1-5) / 2 = -3.

Portanto, o polinômio R (x) pode ser fatorado como R (x) = (x-2) (x - (- 3)) = (x-2) (x + 3).

Quarto exercício

Fator H (x) = x³ - x² - 2x.

Solução

Neste exercício, podemos começar tomando o fator comum x e obtermos que H (x) = x (x²-x-2).

Portanto, resta apenas fatorar o polinômio quadrático. Usando o resolvente novamente, temos que as raízes são:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 2))) / 2 * 1 = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

Portanto, as raízes do polinômio quadrático são x1 = 1 e x2 = -2.

Em conclusão, a fatoração do polinômio H (x) é dada por H (x) = x (x-1) (x + 2).

Referências

1. 1. Fuentes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo. Lulu.com.
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   3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matemática para gestão e economia. Pearson Education.
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   5. Preciado, CT (2005). Curso de Matemática 3º. Editorial Progreso.
   6. Rock, NM (2006). Álgebra I é fácil! Tão fácil. Equipe Rock Press.
   7. Sullivan, J. (2006). Álgebra e trigonometria. Pearson Education.