LEIS DE KEPLER: EXPLICAÇÃO, EXERCÍCIOS, EXPERIMENTO - FISICA - 2025

As leis do movimento planetário de Kepler foram feitas pelo astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630). Kepler as deduziu com base no trabalho de seu professor, o astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601).

Brahe compilou cuidadosamente dados sobre movimentos planetários ao longo de mais de 20 anos, com surpreendente precisão e exatidão, considerando que o telescópio ainda não havia sido inventado na época. A validade dos seus dados continua válida até hoje.

Figura 1. As órbitas dos planetas de acordo com as leis de Kepler. Fonte: Wikimedia Commons. Willow / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)

3 leis de Kepler

As leis de Kepler estabelecem:

-Primeira lei: todos os planetas descrevem órbitas elípticas com o Sol em um dos focos.

Isso significa que a razão T ² / r ³ é a mesma para todos os planetas, o que permite calcular o raio orbital, se o período orbital for conhecido.

Quando T é expresso em anos er em unidades astronômicas AU *, a constante de proporcionalidade é k = 1:

* Uma unidade astronômica equivale a 150 milhões de quilômetros, que é a distância média entre a Terra e o Sol. O período orbital da Terra é de 1 ano.

A lei da gravitação universal e terceira lei de Kepler

A lei universal da gravitação afirma que a magnitude da força gravitacional de atração entre dois objetos de massas M e m, respectivamente, cujos centros são separados por uma distância r, é dada por:

G é a constante universal da gravitação e o seu valor é G = 6,674 x 10 ^-11 Nm ² / kg ².

Agora, as órbitas dos planetas são elípticas com uma excentricidade muito pequena.

Isso significa que a órbita não está muito longe de uma circunferência, exceto em alguns casos, como no planeta anão Plutão. Se aproximarmos as órbitas da forma circular, a aceleração do movimento do planeta é:

Como F = ma, temos:

Aqui, v é a velocidade linear do planeta em torno do Sol, assumida estática e de massa M, enquanto a do planeta é m. Assim:

Isso explica que os planetas mais distantes do Sol têm uma velocidade orbital menor, já que depende de 1 / √r.

Como a distância que o planeta percorre é aproximadamente o comprimento da circunferência: L = 2πr e leva um tempo igual a T, o período orbital, obtemos:

Igualando as duas expressões para v dá uma expressão válida para T ², o quadrado do período orbital:

E esta é precisamente a terceira lei de Kepler, visto que nesta expressão o parêntese 4π ² / GM é constante, logo T ² é proporcional à distância r ao cubo.

A equação definitiva para o período orbital é obtida tomando a raiz quadrada:

Figura 3. Afélio e periélio. Fonte: Wikimedia Commons. Pearson Scott Foresman / domínio público

Portanto, substituímos r por a na terceira lei de Kepler, o que resulta para Halley em:

Solução b

a = ½ (Periélio + Afélio)

Experimentar

A análise do movimento dos planetas requer semanas, meses e até anos de observação e registro cuidadosos. Mas no laboratório, um experimento muito simples pode ser realizado em uma escala muito simples para provar que a lei de Kepler das áreas iguais é válida.

Isso requer um sistema físico no qual a força que governa o movimento seja central, uma condição suficiente para que a lei das áreas seja cumprida. Tal sistema consiste em uma massa amarrada a uma corda comprida, com a outra ponta do fio fixada em um suporte.

A massa é movida um pequeno ângulo de sua posição de equilíbrio e recebe um leve impulso, de forma que executa um movimento oval (quase elíptico) no plano horizontal, como se fosse um planeta ao redor do Sol.

Na curva descrita pelo pêndulo, podemos provar que ele varre áreas iguais em tempos iguais, se:

- Consideramos os raios vetoriais que vão do centro de atração (ponto inicial de equilíbrio) até a posição da massa.

-E varremos entre dois instantes consecutivos de igual duração, em duas áreas diferentes do movimento.

Quanto mais longa a corda do pêndulo e menor o ângulo de afastamento da vertical, a força de restauração resultante será mais horizontal, e a simulação se assemelha ao caso de movimento com força central em um plano.

Em seguida, o oval descrito se aproxima de uma elipse, como aquela que os planetas viajam.

materiais

- Fio extensível

-1 bola de massa ou metal pintada de branco que atua como um pêndulo

-Governante

-Transportadora

- Câmera fotográfica com disco estroboscópico automático

-Apoia

- Duas fontes de iluminação

- Uma folha de papel preto ou papelão

Processo

A montagem da figura é necessária para tirar fotos de vários flashes do pêndulo conforme ele segue seu caminho. Para isso, você deve colocar a câmera logo acima do pêndulo e o disco estroboscópico automático na frente da lente.

Figura 4. Montagem do pêndulo para verificar se ele varre áreas iguais em tempos iguais. Fonte: Guia do Laboratório PSSC.

Desta forma, as imagens são obtidas em intervalos regulares de tempo do pêndulo, por exemplo, a cada 0,1 ou a cada 0,2 segundos, o que nos permite saber o tempo que leva para passar de um ponto a outro.

Você também deve iluminar a massa do pêndulo corretamente, colocando as luzes em ambos os lados. A lentilha deve ser pintada de branco para melhorar o contraste no fundo, que consiste em um papel preto estendido no chão.

Agora você tem que verificar se o pêndulo varre áreas iguais em tempos iguais. Para isso, é escolhido um intervalo de tempo e os pontos ocupados pelo pêndulo nesse intervalo são marcados no papel.

Uma linha é desenhada na imagem do centro da oval até esses pontos e assim teremos a primeira das áreas varridas pelo pêndulo, que é aproximadamente um setor elíptico como o mostrado abaixo:

Figura 5. Área de um setor elíptico. Fonte: F. Zapata.

Cálculo da área da seção elíptica

Com o transferidor, os ângulos θ _o e θ ₁ são medidos, e esta fórmula é usada para encontrar S, a área do setor elíptico:

Com F (θ) dado por:

Observe que aeb são os semieixos maior e menor, respectivamente. O leitor só precisa se preocupar em medir cuidadosamente os semieixos e os ângulos, já que existem calculadoras online para avaliar essa expressão com facilidade.

No entanto, se você insiste em fazer o cálculo à mão, lembre-se de que o ângulo θ é medido em graus, mas ao inserir os dados na calculadora, os valores devem ser expressos em radianos.

Em seguida, deve-se marcar outro par de pontos em que o pêndulo tenha invertido o mesmo intervalo de tempo, e desenhar a área correspondente, calculando seu valor com o mesmo procedimento.

Verificação da lei de igualdade de áreas

Por fim, resta verificar se a lei das áreas é cumprida, ou seja, se áreas iguais são varridas em tempos iguais.

Os resultados estão se desviando um pouco do esperado? Deve-se sempre ter em mente que todas as medições são acompanhadas de seus respectivos erros experimentais.

Referências

1. Calculadora Keisan online. Área de uma calculadora elíptica de setor. Recuperado de: keisan.casio.com.
2. Openstax. Lei do Movimento Planetário de Kepler. Recuperado de: openstax.org.
3. PSSC. Laboratório de Física. Editorial Reverté. Recuperado de: books.google.co.
4. Palen, S. 2002. Astronomy. Schaum Series. McGraw Hill.
5. Pérez R. Sistema simples com força central. Recuperado de: francesphysics.blogspot.com
6. Stern, as três leis do movimento planetário de D. Kepler. Recuperado de: phy6.org.