- Regra Sarrus
- Tipos de determinantes
- Determinante da dimensão 1
- Determinante da dimensão 2
- Determinante da dimensão 3
- Referências
A regra Sarrus é usada para calcular o resultado dos determinantes 3 × 3. Eles são usados para resolver equações lineares e descobrir se são compatíveis.
Os sistemas compatíveis facilitam a obtenção da solução. Eles também são usados para determinar se conjuntos de vetores são linearmente independentes e para formar a base do espaço vetorial.
Essas aplicações são baseadas na invertibilidade das matrizes. Se uma matriz é regular, seu determinante é diferente de 0. Se for singular, seu determinante é igual a 0. Os determinantes só podem ser calculados em matrizes quadradas.
Para calcular matrizes de qualquer ordem, o teorema de Laplace pode ser usado. Este teorema nos permite simplificar matrizes de dimensões altas, em somas de pequenos determinantes que decompomos da matriz principal.
Afirma que o determinante de uma matriz é igual à soma dos produtos de cada linha ou coluna, vezes o determinante de sua matriz adjunta.
Isso reduz os determinantes de forma que um determinante de grau n se torne n determinantes de n-1. Se aplicarmos esta regra sucessivamente, podemos obter determinantes de dimensão 2 (2 × 2) ou 3 (3 × 3), onde o seu cálculo é muito mais fácil.
Regra Sarrus
Pierre Frederic Sarrus foi um matemático francês do século XIX. A maioria de seus tratados matemáticos são baseados em métodos de resolução de equações e cálculo de variações, dentro de equações numéricas.
Em um de seus tratados, ele resolveu um dos enigmas mais complexos da mecânica. Para resolver os problemas das peças articuladas, Sarrus introduziu a transformação de movimentos retilíneos alternativos, em movimentos circulares uniformes. Este novo sistema é conhecido como mecanismo Sarrus.
A pesquisa que deu mais fama a este matemático foi aquela em que ele introduziu um novo método de cálculo dos determinantes, no artigo "Nouvelles méthodes pour la résolution des équations" (Novo método para resolver equações), que foi publicado no ano de 1833. Esta forma de resolver equações lineares é conhecida como regra de Sarrus.
A regra de Sarrus permite calcular o determinante de uma matriz 3 × 3, sem a necessidade de usar o teorema de Laplace, apresentando um método muito mais simples e intuitivo. Para verificar o valor da regra de Sarrus, tomamos qualquer matriz de dimensão 3:
O cálculo de seu determinante seria realizado a partir do produto de suas diagonais principais, subtraindo o produto das diagonais inversas. Isso seria o seguinte:
A regra de Sarrus permite-nos obter uma visão muito mais fácil no cálculo das diagonais do determinante. Seria simplificado adicionando as duas primeiras colunas na parte de trás da matriz. Desta forma, vê-se mais claramente quais são suas diagonais principais e quais são as inversas, para o cálculo do produto.
Através desta imagem podemos ver a aplicação da regra de Sarrus, incluímos as linhas 1 e 2, abaixo da representação gráfica da matriz inicial. Desta forma, as diagonais principais são as três diagonais que aparecem primeiro.
As três diagonais reversas, por sua vez, são as que aparecem primeiro na parte de trás.
Dessa forma, as diagonais aparecem de forma mais visual, sem complicar a resolução do determinante, tentando descobrir quais elementos da matriz pertencem a cada diagonal.
Conforme aparece na imagem, escolhemos as diagonais e calculamos o produto resultante de cada função. As diagonais que aparecem em azul são as que se somam. À soma deles, subtraímos o valor das diagonais que aparecem em vermelho.
Para tornar a compressão mais fácil, podemos usar um exemplo numérico, em vez de usar termos algébricos e subtermos.
Se tomarmos qualquer matriz 3 × 3, por exemplo:
Para aplicar a regra de Sarrus e resolvê-la de uma forma mais visual, devemos incluir as linhas 1 e 2, como linhas 4 e 5, respectivamente. É importante manter a linha 1 na 4ª posição e a linha 2 na 5ª posição. Visto que se os trocarmos, a Regra Sarrus não terá efeito.
Para calcular o determinante, nossa matriz seria a seguinte:
Para continuar com o cálculo, vamos multiplicar os elementos das diagonais principais. Os descendentes a partir da esquerda terão um sinal positivo; enquanto as diagonais inversas, que partem da direita, têm sinal negativo.
Neste exemplo, os azuis teriam um sinal positivo e os vermelhos, um sinal negativo. O cálculo final da Regra de Sarrus ficaria assim:
Tipos de determinantes
Determinante da dimensão 1
Se a dimensão da matriz for 1, a matriz terá a seguinte aparência: A = (a)
Portanto, seu determinante seria o seguinte: det (A) = -A- = a
Em resumo, o determinante da matriz A é igual ao valor absoluto da matriz A, que neste caso é a.
Determinante da dimensão 2
Se passarmos para matrizes de dimensão 2, obtemos matrizes do tipo:
Onde seu determinante é definido como:
A resolução deste determinante é baseada na multiplicação de sua diagonal principal, subtraindo o produto de sua diagonal inversa.
Como mnemônico, podemos usar o seguinte diagrama para lembrar seu determinante:
Determinante da dimensão 3
Se a dimensão da matriz for 3, a matriz resultante seria deste tipo:
O determinante desta matriz seria resolvido através da regra de Sarrus desta forma:
Referências
- Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) Matemática de 30 segundos: as 50 teorias que mais expandem a mente na matemática. Ivy Press Limited.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Awol Assen (2013) A Study on the Computation of the Determinants of a 3 × 3 Matrix. Publicação acadêmica de Lap Lambert.
- Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Publicação de aprovação.
- Jesse Russell (2012) Regra de Sarrus.
- M. Casteleiro Villalba (2004) Introdução à álgebra linear. Editorial da ESIC.