A interpolação linear é um método que origina a interpolação de Newton geral e a aproximação para determinar um valor desconhecido que está entre dois números dados; ou seja, um valor intermediário é encontrado. Também é aplicado a funções aproximadas, onde os valores f (a) ef (b) são conhecidos e queremos saber o intermediário de f (x).
Existem diferentes tipos de interpolação, como linear, quadrática, cúbica e de graus superiores, sendo a mais simples a aproximação linear. O preço que deve ser pago com interpolação linear é que o resultado não será tão preciso quanto com aproximações usando funções de graus superiores.
Definição
A interpolação linear é um processo que permite deduzir um valor entre dois valores bem definidos, que podem estar em uma tabela ou em um gráfico de linha.
Por exemplo, se você sabe que 3 litros de leite valem $ 4 e que 5 litros valem $ 7, mas deseja saber qual é o valor de 4 litros de leite, interpola para determinar esse valor intermediário.
Método
Para estimar um valor intermediário de uma função, a função f (x) é aproximada por meio de uma reta r (x), o que significa que a função varia linearmente com «x» para uma seção «x = a» e «x = b "; ou seja, para um valor "x" no intervalo (x 0, x 1) e (y 0, y 1), o valor de "y" é dado pela linha entre os pontos e é expresso pela seguinte relação:
(y - y 0) ÷ (x - x 0) = (y 1 - y 0) ÷ (x 1 - x 0)
Para que uma interpolação seja linear, o polinômio de interpolação deve ser de grau um (n = 1), de forma que se ajuste aos valores de x 0 ex 1.
A interpolação linear é baseada na semelhança de triângulos, de forma que, derivando geometricamente da expressão anterior, pode-se obter o valor de "y", que representa o valor desconhecido para "x".
Dessa forma, você tem que:
a = tan Ɵ = (perna oposta 1 ÷ perna adjacente 1) = (perna oposta 2 ÷ perna adjacente 2)
Expresso de outra forma, é:
(y - y 0) ÷ (x - x 0) = (y 1 - y 0) ÷ (x 1 - x 0)
Resolvendo «e» a partir das expressões, temos:
(y - y 0) * (x 1 - x 0) = (x - x 0) * (y 1 - y 0)
(y - y 0) = (y 1 - y 0) *
Assim, a equação geral para interpolação linear é obtida:
y = y 0 + (y 1 - y 0) *
Em geral, a interpolação linear fornece um pequeno erro no valor real da função verdadeira, embora o erro seja mínimo em comparação com se você escolher intuitivamente um número próximo ao que deseja encontrar.
Este erro ocorre ao tentar aproximar o valor de uma curva com uma linha reta; Nestes casos, o tamanho do intervalo deve ser reduzido para tornar a aproximação mais precisa.
Para melhores resultados quanto à aproximação, recomenda-se o uso de funções de grau 2, 3 ou até graus superiores para realizar a interpolação. Para esses casos, o teorema de Taylor é uma ferramenta muito útil.
Exercícios resolvidos
Exercício 1
O número de bactérias por unidade de volume existente em uma incubação após x horas é apresentado na tabela a seguir. Você quer saber qual é o volume da bactéria para o tempo de 3,5 horas.
Solução
A tabela de referência não estabelece um valor que indique a quantidade de bactérias para um tempo de 3,5 horas, mas tem valores superior e inferior correspondentes a um tempo de 3 e 4 horas, respectivamente. Dessa forma:
x 0 = 3 e 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 e 1 = 135
Agora, a equação matemática é aplicada para encontrar o valor interpolado, que é o seguinte:
y = y 0 + (y 1 - y 0) *.
Em seguida, os valores correspondentes são substituídos:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Assim, obtém-se que, para um tempo de 3,5 horas, o número de bactérias seja de 113, o que representa um nível intermediário entre o volume de bactérias existentes nos tempos de 3 e 4 horas.
Exercício 2
Luís tem uma fábrica de sorvetes e quer fazer um estudo para determinar a receita que teve em agosto com base nas despesas realizadas. O administrador da empresa faz um gráfico que expressa essa relação, mas Luis quer saber:
Qual é a receita de agosto, se uma despesa de $ 55.000 tiver ocorrido?
Solução
É apresentado um gráfico com valores de receitas e despesas. Luis quer saber qual seria a receita de agosto se a fábrica tivesse uma despesa de US $ 55 mil. Este valor não é refletido diretamente no gráfico, mas os valores são maiores e menores do que isso.
Primeiro é feita uma tabela onde relacionar facilmente os valores:
Agora, a fórmula de interpolação é usada para determinar o valor de y
y = y 0 + (y 1 - y 0) *
Em seguida, os valores correspondentes são substituídos:
y = 56.000 + (78.000 - 56.000) *
y = 56.000 + (22.000) *
y = 56.000 + (22.000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = $ 68.936.
Se uma despesa de $ 55.000 foi feita em agosto, a receita foi de $ 68.936.
Referências
- Arthur Goodman, LH (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000). Tópicos em Teoria Geométrica dos Grupos. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Linear interpolation ", Encyclopedia of Mathematics.
- , JM (1998). Elementos de métodos numéricos para Engenharia. UASLP.
- , E. (2002). Uma cronologia de interpolação: da astronomia antiga ao moderno processamento de sinais e imagens. Procedimentos do IEEE.
- numérico, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.