- Calculando o inverso de uma matriz
- Método 1: Usando Eliminação Gaussiana
- Solução de sistema
- Método 2: usando matriz anexada
- Fórmula de matriz inversa
- Exercício resolvido
- Referências
A matriz inversa de uma dada matriz é a matriz que multiplicada pelo original dá a matriz de identidade. A matriz inversa é útil para resolver sistemas de equações lineares, daí a importância de saber calculá-la.
As matrizes são muito úteis em física, engenharia e matemática, pois são uma ferramenta compacta para resolver problemas complexos. A utilidade das matrizes é aumentada quando elas são invertíveis e seu inverso também é conhecido.
Figura 1. Uma matriz 2 × 2 genérica e sua matriz inversa são mostradas. (Elaborado por Ricardo Pérez)
Nas áreas de processamento gráfico, Big Data, Data Mining, Machine Learning e outros, algoritmos eficientes e rápidos são usados para avaliar a matriz inversa de matrizes nxn com n muito grande, da ordem de milhares ou milhões.
Para ilustrar o uso da matriz inversa no tratamento de um sistema de equações lineares, começaremos com o caso mais simples de todos: matrizes 1 × 1.
O caso mais simples: uma equação linear de uma única variável é considerada: 2 x = 10.
A ideia é encontrar o valor de x, mas será feito "matriz".
A matriz M = (2) que multiplica o vetor (x) é uma matriz 1 × 1 que resulta no vetor (10):
M (x) = (10)
O inverso da matriz M é denotado por M -1.
A maneira geral de escrever este "sistema linear" é:
MX = B, onde X é o vetor (x) e B é o vetor (10).
Por definição, a matriz inversa é aquela que multiplicada pela matriz original resulta na matriz identidade I:
M -1 M = I
No caso considerado, a matriz M -1 é a matriz (½), ou seja, M -1 = (½) já que M -1 M = (½) (2) = (1) = I
Para encontrar o vetor desconhecido X = (x), na equação proposta, ambos os membros são multiplicados pela matriz inversa:
M -1 M (x) = M -1 (10)
(½) (2) (x) = (½) (10)
(½ 2) (x) = (½ 10)
(1) (x) = (5)
(x) = (5)
Foi alcançada uma igualdade de dois vetores, que são iguais apenas quando seus elementos correspondentes são iguais, ou seja, x = 5.
Calculando o inverso de uma matriz
O que motiva o cálculo da matriz inversa é encontrar um método universal para a solução de sistemas lineares, como o seguinte sistema 2 × 2:
x - 2 y = 3
-x + y = -2
Seguindo os passos do caso 1 × 1, estudado na seção anterior, escrevemos o sistema de equações em forma de matriz:
Figura 2. Sistema linear em forma de matriz.
Observe que este sistema é escrito em notação vetorial compacta da seguinte maneira:
MX = B
Onde
A próxima etapa é encontrar o inverso de M.
Método 1: Usando Eliminação Gaussiana
O método de eliminação gaussiana será aplicado. Que consiste em fazer operações elementares nas linhas da matriz, essas operações são:
- Multiplique uma linha por um número diferente de zero.
- Adicionar ou subtrair outra linha de uma linha ou o múltiplo de outra linha.
- Troque as linhas.
O objetivo é, por meio dessas operações, converter a matriz original na matriz identidade.
Quando isso é feito, na matriz M exatamente as mesmas operações são aplicadas à matriz identidade. Quando, após várias operações nas linhas, M é transformado em matriz unitária, então aquela que era originalmente a unidade se tornará a matriz inversa de M, ou seja, M -1.
1- Iniciamos o processo escrevendo a matriz M e ao lado dela a matriz unitária:
2- Adicionamos as duas linhas e colocamos o resultado na segunda linha, desta forma obtemos um zero no primeiro elemento da segunda linha:
3- Multiplicamos a segunda linha por -1 para obter 0 e 1 na segunda linha:
4- A primeira linha é multiplicada por ½:
5- O segundo e o primeiro são adicionados e o resultado é colocado na primeira linha:
6- Agora para finalizar o processo, a primeira linha é multiplicada por 2 para obter a matriz identidade na primeira linha e a matriz inversa da matriz original M na segunda:
Quer dizer:
Solução de sistema
Uma vez que a matriz inversa é obtida, o sistema de equações é resolvido aplicando a matriz inversa a ambos os membros da equação vetorial compacta:
M -1 M X = M -1 B
X = M -1 B
Que se parece explicitamente com isto:
Em seguida, a multiplicação da matriz é realizada para obter o vetor X:
Método 2: usando matriz anexada
Neste segundo método a matriz inversa é calculada a partir da matriz adjunta da matriz original Uma.
Suponha que uma matriz A dada por:
onde i, j é o elemento em linha i e coluna j da matriz A.
O adjunto da matriz A será denominado Adj (A) e seus elementos são:
ad i, j = (-1) (i + j) ¦Ai, j¦
onde Ai, j é a matriz inferior complementar obtido por eliminação da linha i e coluna j da matriz original Uma. As barras ¦ ¦ indicam que o determinante é calculado, ou seja , ¦Ai, j¦ é o determinante da matriz complementar menor.
Fórmula de matriz inversa
A fórmula para encontrar a matriz inversa a partir da matriz adjacente da matriz original é a seguinte:
É, a matriz inversa de A, A -1, é a transposta do adjunto de um dividido pelo determinante de um.
A transposta Um T de uma matriz A é o obtido por linhas trocando para colunas, isto é, a primeira linha torna-se a primeira coluna e a segunda linha transforma-se a segunda coluna, e assim por diante até que os n linhas da matriz original são concluídos.
Exercício resolvido
Seja a matriz A a seguinte:
Todo e qualquer elemento da matriz adjunta de A é calculado: Adj (A)
Resultando em que a matriz adjunta de A, Adj (A) é o seguinte:
Em seguida, o determinante da matriz A, det (A) é calculado:
Finalmente, a matriz inversa de A é obtida:
Referências
- Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Publicação de aprovação.
- Awol Assen (2013) Um estudo sobre o cálculo dos determinantes de um 3 × 3
- Casteleiro Villalba M. (2004) Introdução à álgebra linear. Editorial da ESIC.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) Matemática de 30 segundos: as 50 teorias que mais expandem a mente na matemática. Ivy Press Limited.
- Matriz. Publicação acadêmica de Lap Lambert.