- Postulados
- Quatro postulados de Dirac
- Equação de Dirac
- O átomo de Dirac-Jordan
- Correções relativísticas para o espectro de energia
- Artigos de interesse
- Referências
O modelo atômico de Dirac-Jordan é a generalização relativística do operador hamiltoniano na equação que descreve a função de onda quântica do elétron. Ao contrário do modelo anterior, de Schrõdinger, não é necessário impor o spin por meio do princípio de exclusão de Pauli, pois ele aparece naturalmente.
Além disso, o modelo de Dirac-Jordan incorpora correções relativísticas, a interação spin-órbita e o termo Darwin, que explicam a estrutura fina dos níveis eletrônicos do átomo.
Figura 1. Orbitais eletrônicos no átomo de hidrogênio para os três primeiros níveis de energia. Fonte: Wikimedia Commons.
A partir de 1928, os cientistas Paul AM Dirac (1902-1984) e Pascual Jordan (1902-1980), começaram a generalizar a mecânica quântica desenvolvida por Schrõdinger, para incluir as correções da relatividade especial de Einstein.
Dirac parte da equação de Schrodinger, que consiste em um operador diferencial, denominado Hamiltoniano, que opera em uma função conhecida como função de onda eletrônica. No entanto, Schrõdinger não levou em consideração os efeitos relativísticos.
As soluções da função de onda nos permitem calcular as regiões onde com certo grau de probabilidade o elétron se encontrará ao redor do núcleo. Essas regiões ou zonas são chamadas de orbitais e dependem de certos números quânticos discretos, que definem a energia e o momento angular do elétron.
Postulados
Nas teorias da mecânica quântica, sejam elas relativísticas ou não, não existe o conceito de órbitas, pois nem a posição nem a velocidade do elétron podem ser especificadas simultaneamente. Além disso, a especificação de uma das variáveis leva à imprecisão total da outra.
Por sua vez, o hamiltoniano é um operador matemático que atua na função de onda quântica e é construído a partir da energia do elétron. Por exemplo, um elétron livre tem energia total E que depende de seu momento linear p assim:
E = (p 2) / 2m
Para construir o hamiltoniano, partimos desta expressão e substituímos p pelo operador quântico de momentum:
p = -i ħ ∂ / ∂ r
É importante notar que os p e p termos são diferentes, uma vez que o primeiro deles é o impulso e o outro é o operador diferencial associado com o impulso.
Além disso, i é a unidade imaginária e ħ a constante de Planck dividida por 2π, desta forma o operador hamiltoniano H do elétron livre é obtido:
H = (ħ 2 / 2m) ∂ 2 / ∂ r 2
Para encontrar o hamiltoniano do elétron no átomo, adicione a interação do elétron com o núcleo:
H = (ħ2 / 2m) ∂ 2 / ∂ r 2 - eΦ (r)
Na expressão anterior -e é a carga elétrica do elétron e Φ (r) o potencial eletrostático produzido pelo núcleo central.
Agora, o operador H atua na função de onda ψ de acordo com a equação de Schrodinger, que é escrita assim:
H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ
Quatro postulados de Dirac
Primeiro postulado: a equação da onda relativística tem a mesma estrutura da equação da onda de Schrõdinger, o que muda é o H:
H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ
Segundo postulado: o operador hamiltoniano é construído a partir da relação energia-momento de Einstein, que é escrita da seguinte forma:
E = (m 2 c 4 + p 2 c 2) 1/2
Na relação anterior, se a partícula tem momento p = 0, então temos a famosa equação E = mc 2 que relaciona a energia em repouso de qualquer partícula de massa m com a velocidade da luz c.
Terceiro postulado: para obter o operador hamiltoniano, a mesma regra de quantização usada na equação de Schrodinger é usada:
p = -i ħ ∂ / ∂ r
No início, não era claro como lidar com esse operador diferencial agindo dentro de uma raiz quadrada, então Dirac começou a obter um operador hamiltoniano linear no operador de momento e daí surgiu seu quarto postulado.
Quarto postulado: para se livrar da raiz quadrada na fórmula da energia relativística, Dirac propôs a seguinte estrutura para E 2:
Claro, é necessário determinar os coeficientes alfa (α0, α1, α2, α3) para que isso seja verdade.
Equação de Dirac
Em sua forma compacta, a equação de Dirac é considerada uma das mais belas equações matemáticas do mundo:
Figura 2. Equação de Dirac em forma compacta. Fonte: F. Zapata.
E é aí que fica claro que os alfas constantes não podem ser quantidades escalares. A única maneira pela qual a igualdade do quarto postulado é satisfeita é que eles são matrizes constantes 4 × 4, que são conhecidas como matrizes de Dirac:
Observamos imediatamente que a função de onda deixa de ser uma função escalar e se torna um vetor com quatro componentes chamados de espinor:
O átomo de Dirac-Jordan
Para se obter o modelo atômico é necessário ir da equação do elétron livre à do elétron no campo eletromagnético produzido pelo núcleo atômico. Essa interação é levada em consideração pela incorporação do potencial escalar Φ e do potencial vetorial A no hamiltoniano:
A função de onda (spinor) que resulta da incorporação deste hamiltoniano tem as seguintes características:
- Preenche a relatividade especial, pois leva em consideração a energia intrínseca do elétron (primeiro termo do hamiltoniano relativístico)
- Possui quatro soluções correspondentes aos quatro componentes do spinor
- As duas primeiras soluções correspondem uma a spin + ½ e a outra a spin - ½
- Finalmente, as outras duas soluções prevêem a existência de antimatéria, pois correspondem à de pósitrons com spins opostos.
A grande vantagem da equação de Dirac é que as correções do Hamiltoniano H (o) de Schrodinger básico podem ser divididas em vários termos que mostraremos a seguir:
Na expressão anterior, V é o potencial escalar, uma vez que o potencial vetorial A é zero se o próton central for considerado estacionário e, portanto, não aparecer.
A razão pela qual as correções de Dirac para as soluções de Schrodinger na função de onda são sutis. Eles surgem do fato de que os três últimos termos do hamiltoniano corrigido são todos divididos pela velocidade c da luz ao quadrado, um número enorme, o que torna esses termos numericamente pequenos.
Correções relativísticas para o espectro de energia
Usando a equação de Dirac-Jordan, encontramos correções para o espectro de energia do elétron no átomo de hidrogênio. Correções de energia em átomos com mais de um elétron na forma aproximada também são encontradas por meio de uma metodologia conhecida como teoria de perturbação.
Da mesma forma, o modelo de Dirac nos permite encontrar a correção da estrutura fina nos níveis de energia do hidrogênio.
No entanto, correções ainda mais sutis, como a estrutura hiperfina e o deslocamento de Lamb, são obtidas a partir de modelos mais avançados, como a teoria quântica de campos, que nasceu precisamente das contribuições do modelo de Dirac.
A figura a seguir mostra como são as correções relativísticas de Dirac para os níveis de energia:
Figura 3. Correções do modelo de Dirac para os níveis do átomo de hidrogênio. Fonte: Wikimedia Commons.
Por exemplo, as soluções para a equação de Dirac prevêem corretamente uma mudança observada no nível 2s. É a bem conhecida correção de estrutura fina na linha Lyman-alfa do espectro do hidrogênio (ver figura 3).
A propósito, estrutura fina é o nome dado em física atômica à duplicação das linhas do espectro de emissão dos átomos, que é uma consequência direta do spin eletrônico.
Figura 4. Divisão de estrutura fina para o estado fundamental n = 1 e o primeiro estado excitado n = 2 no átomo de hidrogênio. Fonte: R Wirnata. Correções relativísticas para átomos semelhantes ao hidrogênio. Researchgate.net
Artigos de interesse
Modelo atômico De Broglie.
O modelo atômico de Chadwick.
Modelo atômico de Heisenberg.
Modelo atômico de Perrin.
Modelo atômico de Thomson.
Modelo atômico de Dalton.
Modelo atômico de Schrödinger.
Modelo atômico de Demócrito.
Modelo atômico de Bohr.
Referências
- Teoria atômica. Recuperado de wikipedia.org.
- Momento magnético do elétron. Recuperado de wikipedia.org.
- Quanta: um manual de conceitos. (1974). Imprensa da Universidade de Oxford. Recuperado da Wikipedia.org.
- Modelo atômico de Dirac Jordan. Recuperado de prezi.com.
- O Novo Universo Quântico. Cambridge University Press. Recuperado da Wikipedia.org.