ONDAS UNIDIMENSIONAIS: EXPRESSÃO MATEMÁTICA E EXEMPLOS - FISICA - 2025

One- ondas dimensionais são aquelas que se propagam em uma única direção, independentemente da vibração ocorre na mesma direção de propagação ou não. Um bom exemplo disso é a onda que percorre uma corda esticada como a de um violão.

Em uma onda plana transversal, as partículas vibram na direção vertical (elas sobem e descem, veja a seta vermelha na figura 1), mas é unidimensional porque a perturbação viaja em apenas uma direção, seguindo a seta amarela.

Figura 1: A imagem representa uma onda unidimensional. Observe que as cristas e vales formam linhas paralelas umas às outras e perpendiculares à direção de propagação. Fonte: self made.

As ondas unidimensionais aparecem com bastante frequência na vida cotidiana. Na seção seguinte são descritos alguns exemplos delas e também de ondas que não são unidimensionais, para estabelecer claramente as diferenças.

Exemplos de ondas unidimensionais e não unidimensionais

Ondas unidimensionais

Aqui estão alguns exemplos de ondas unidimensionais que podem ser facilmente observadas:

- Um pulso sonoro que percorre uma barra reta, pois é um distúrbio que se espalha por toda a extensão da barra.

- Uma onda que viaja por um canal de água, mesmo quando o deslocamento da superfície da água não é paralelo ao canal.

- Ondas que se propagam em uma superfície ou através do espaço tridimensional também podem ser unidimensionais, desde que suas frentes de onda sejam planos paralelos entre si e viajem em apenas uma direção.

Ondas não unidimensionais

Um exemplo de onda não unidimensional é encontrado em ondas que se formam em uma superfície de água parada quando uma pedra cai. É uma onda bidimensional com uma frente de onda cilíndrica.

Figura 2. A imagem representa um exemplo do que uma onda unidimensional NÃO É. Observe que as cristas e vales formam círculos e a direção de propagação é radial para fora, então é uma onda circular bidimensional. Fonte: Pixabay.

Outro exemplo de onda não unidimensional é a onda sonora que um foguete gera ao explodir em certa altura. Esta é uma onda tridimensional com frentes de onda esféricas.

Expressão matemática de uma onda unidimensional

A forma mais geral de expressar uma onda unidimensional que se propaga sem atenuação na direção positiva do eixo xy com velocidade v é, matematicamente:

Nesta expressão, y representa a perturbação na posição x no tempo t. A forma da onda é dada pela função f. Por exemplo, a função de onda mostrada na figura 1 é: y (x, t) = cos (x - vt) e a imagem da onda corresponde ao instante t = 0.

Uma onda como essa, descrita por uma função cosseno ou seno, é chamada de onda harmônica. Embora não seja a única forma de onda existente, ela é de extrema importância, pois qualquer outra onda pode ser representada como uma superposição ou soma de ondas harmônicas. É o conhecido teorema de Fourier, amplamente usado para descrever sinais de todos os tipos.

Quando a onda viaja na direção negativa do eixo x, simplesmente altere v para -v no argumento, deixando:

A Figura 3 mostra a animação de uma onda viajando para a esquerda: é uma forma chamada função Lorentziana e sua expressão matemática é:

Neste exemplo, a velocidade de propagação é v = 1, -uma unidade de espaço para cada unidade de tempo-.

Figura 3. Exemplo de uma onda Lorentziana viajando para a esquerda com velocidade v = 1. Fonte: Elaborado por F. Zapata com Geogebra.

Equação de onda unidimensional

A equação da onda é uma equação derivada parcial, cuja solução é, obviamente, uma onda. Ele estabelece a relação matemática entre a parte espacial e a parte temporal dela, e tem a forma:

Exemplo trabalhado

A seguir está a expressão geral y (x, t) para uma onda harmônica:

a) Descreva o significado físico dos parâmetros A, k, ω e θo.

b) Qual o significado dos sinais ± no argumento do cosseno?

c) Verifique se a expressão dada é de fato a solução da equação de onda da seção anterior e encontre a velocidade v de propagação.

Solução para)

As características da onda são encontradas nos seguintes parâmetros:

Segunda derivada em relação a t: ∂ ² e / ∂t ² = -ω ². A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Esses resultados são substituídos na equação de onda:

Tanto A quanto o cosseno são simplificados, uma vez que aparecem em ambos os lados da igualdade e o argumento do cosseno é o mesmo, portanto a expressão se reduz a:

O que permite obter uma equação para v em termos de ω e k:

Referências

1. E-educacional. Equação de ondas harmônicas unidimensionais. Recuperado de: e-ducativa.catedu.es
2. O canto da Física. Aulas de ondas. Recuperado de: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. Waves and Quantum Physics. Série: Física para Ciência e Engenharia. Editado por Douglas Figueroa. Universidade Simon Bolivar. Caracas Venezuela.
4. Laboratório de Física. Movimento de onda. Recuperado de: fisicalab.com.
5. Peirce, A. Aula 21: A Equação de Onda unidimensional: Solução de D'Alembert. Recuperado de: ubc.ca.
6. Equação de onda. Recuperado de: en.wikipedia.com