O QUE SÃO VETORES COPLANARES? (COM EXERCÍCIOS RESOLVIDOS) - FISICA - 2025

Os vetores coplanares ou coplanares são aqueles que estão contidos no mesmo plano. Quando existem apenas dois vetores, estes são sempre coplanares, visto que existem infinitos planos, sempre é possível escolher aquele que os contenha.

Se você tiver três ou mais vetores, pode ser que alguns deles não estejam no mesmo plano que os outros, portanto, não podem ser considerados coplanares. A figura a seguir mostra um conjunto de vetores coplanares denotados em negrito A, B, C e D:

Figura 1. Quatro vetores coplanares. Fonte: self made.

Os vetores estão relacionados ao comportamento e às propriedades das quantidades físicas relevantes para a ciência e a engenharia; por exemplo, velocidade, aceleração e força.

Uma força produz efeitos diferentes em um objeto quando a forma como é aplicada varia, por exemplo, mudando a intensidade, direção e direção. Mesmo alterando apenas um desses parâmetros, os resultados são consideravelmente diferentes.

Em muitas aplicações, tanto em estática quanto em dinâmica, as forças que atuam sobre um corpo estão no mesmo plano, portanto, são consideradas coplanares.

Condições para os vetores serem coplanares

Para que três vetores sejam coplanares, eles devem estar no mesmo plano e isso acontece se atenderem a qualquer uma das seguintes condições:

-Os vetores são paralelos, portanto seus componentes são proporcionais e linearmente dependentes.

-Seu produto misturado é nulo.

-Se você tiver três vetores e qualquer um deles puder ser escrito como uma combinação linear dos outros dois, esses vetores são coplanares. Por exemplo, um vetor que resulta da soma de dois outros, os três estão todos no mesmo plano.

Alternativamente, a condição de coplanaridade pode ser definida da seguinte forma:

Produto misto entre três vetores

O produto misto entre vetores é definido com três vetores u, v e w, resultando em um escalar que resulta da realização da seguinte operação:

u · (v x w) = u · (v x w)

Primeiro, o produto vetorial que está entre parênteses é realizado: v x w , cujo resultado é um vetor normal (perpendicular) ao plano em que v e w estão .

Se L é no mesmo plano que v e w , naturalmente, o produto escalar (dot produto) entre L e o referido vector normal deve ser 0. Deste modo verifica-se que os três vectores são coplanares (que se encontram no mesmo plano).

Quando o produto misturado não é zero, o seu resultado é igual ao volume do paralelepípedo que tem os vectores de u , v e w como lados adjacentes.

Formulários

Forças coplanares, concorrentes e não colineares

As forças concorrentes são todas aplicadas ao mesmo ponto. Se também forem coplanares, podem ser substituídos por um único, que é chamado de força resultante e tem o mesmo efeito que as forças originais.

Se um corpo está em equilíbrio graças a três forças coplanares, concorrentes e não colineares (não paralelas), chamadas A , B e C, o teorema de Lamy indica que a relação entre essas forças (magnitudes) é a seguinte:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

Com α, β e γ como ângulos opostos às forças aplicadas, conforme mostrado na figura a seguir:

Figura 2. Três forças coplanares A, B e C atuam em um objeto. Fonte: Kiwakwok na Wikipedia em inglês

Exercícios resolvidos

-Exercício 1

Encontre o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Solução

Como temos os componentes dos vetores, utiliza-se o critério do produto misto, portanto:

u (v x w) = 0

Resolva v x w primeiro . Os vetores serão expressos em termos dos vetores unitários i, j e k que distinguem as três direções perpendiculares no espaço (largura, altura e profundidade):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Agora consideramos o produto escalar entre u e o vetor que resultou da operação anterior, definindo a operação igual a 0:

u (v x w) = (-3 i + k j + 2 k) · (-2 i + 4 j + 9 k) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

O valor procurado é: k = - 6

Portanto, o vetor u é:

u = <-3, -6, 2>

-Exercício 2

A figura mostra um objeto cujo peso é W = 600 N, pendurado em equilíbrio graças aos cabos colocados nos ângulos mostrados na figura 3. É possível aplicar o teorema de Lamy nesta situação? Em qualquer caso, encontre as magnitudes de T ₁, T ₂ e T ₃ que tornam o equilíbrio possível.

Figura 3. Um peso está em equilíbrio sob a ação das três tensões mostradas. Fonte: self made.

Solução

O teorema de Lamy é aplicável nesta situação se for considerado o nó em que as três tensões são aplicadas, uma vez que constituem um sistema de forças coplanares. Primeiro, é feito o diagrama de corpo livre para o peso suspenso, a fim de determinar a magnitude de T _3:

Figura 4. Diagrama de corpo livre para suspensão de peso. Fonte: self made.

Da condição de equilíbrio segue-se que:

Os ângulos entre as forças estão marcados em vermelho na figura a seguir, pode-se verificar facilmente que sua soma é 360º. Agora é possível aplicar o teorema de Lamy, já que uma das forças e os três ângulos entre elas são conhecidos:

Figura 5.- Em vermelho os ângulos de aplicação do teorema de Lamy. Fonte: self made.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Portanto: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N

Novamente o teorema de Lamy é aplicado para resolver T ₂:

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N

Referências

1. Figueroa, D. Série: Física para Ciências e Engenharia. Volume 1. Cinemática. 31-68.
2. Fisica. Módulo 8: Vetores. Recuperado de: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Estático 6ª Edição. Continental Publishing Company 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Mecânica para Engenheiros: Estática e Dinâmica. 3ª edição. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vetor. Recuperado de: es.wikipedia.org.