PLATAFORMA FATORIAL: DEFINIÇÃO, FÓRMULAS E EXERCÍCIOS - FISICA - 2024

A plataforma fatorial é uma máquina simples que consiste em um arranjo de polias com efeito multiplicador de força. Desta forma, uma carga pode ser levantada aplicando-se apenas o equivalente a uma fração do peso na extremidade livre da corda.

É composto por dois conjuntos de polias: uma que é fixada a um suporte e outra que exerce a força resultante sobre a carga. As polias são montadas em uma estrutura geralmente metálica que as suporta.

Figura 1. Esquema de uma plataforma fatorial. Fonte: Pixabay

A Figura 1 mostra uma plataforma fatorial que consiste em dois grupos de duas polias cada. Esses tipos de arranjos de polias também são chamados de talhas em série ou talhas.

Fórmulas para aparelhamento fatorial

Caso 1: uma polia móvel e uma polia fixa

Para entender por que esse arranjo multiplica a força exercida, começaremos com o caso mais simples, que consiste em uma polia fixa e uma polia móvel.

Figura 2. Plataforma de duas polias.

Na figura 2 temos uma polia A fixada ao teto por meio de um suporte. A polia A pode girar livremente em torno de seu eixo. Também temos uma polia B que possui um suporte preso ao eixo da polia, no qual a carga é colocada. A polia B, além de poder girar livremente em torno de seu eixo, tem a possibilidade de se mover verticalmente.

Suponha que estamos em uma situação de equilíbrio. Considere as forças que atuam na polia B. O eixo da polia B suporta um peso total P direcionado para baixo. Se essa fosse a única força na polia B, ela cairia, mas sabemos que o cabo que passa por essa polia também exerce duas forças, que são T1 e T2, que são direcionadas para cima.

Para que haja equilíbrio translacional, as duas forças para cima devem ser iguais ao peso suportado pelo eixo da polia B.

T1 + T2 = P

Mas como a polia B também está em equilíbrio rotacional, T1 = T2. As forças T1 e T2 vêm da tensão aplicada à corda, chamada T.

Portanto T1 = T2 = T. Substituindo na equação anterior permanece:

T + T = P

2T = P

O que indica que a tensão aplicada à corda é apenas metade do peso:

T = P / 2

Por exemplo, se a carga fosse de 100 kg, seria suficiente aplicar uma força de 50 kg na extremidade livre da corda para elevar a carga em velocidade constante.

Caso 2: Duas polias móveis e duas fixas

Vamos agora considerar as tensões e forças agindo em uma montagem que consiste em dois arranjos de suportes A e B com duas polias cada.

Figura 3. Forças em uma plataforma com 2 polias fixas e 2 polias móveis.

O suporte B tem a possibilidade de se mover verticalmente e as forças que atuam sobre ele são:

- O peso P da carga, apontando verticalmente para baixo.

- Duas tensões na polia grande e duas tensões na polia pequena. No total, quatro tensões, todas apontando para cima.

Para que haja equilíbrio translacional, as forças que apontam verticalmente para cima precisam ser iguais à carga que aponta para baixo em valor. Ou seja, deve ser cumprido:

T + T + T + T = P

Ou seja, 4 T = P

Daí se conclui que a força aplicada T na extremidade livre da corda é apenas um quarto do peso devido à carga que se deseja levantar., T = P / 4.

Com este valor para a tensão T, a carga pode ser mantida estática ou subir com velocidade constante. Se uma tensão maior que esse valor for aplicada, a carga será acelerada para cima, uma condição necessária para tirá-la do repouso.

Caso geral: n polias móveis en polias fixas

De acordo com o que foi visto nos casos anteriores, para cada polia do conjunto móvel há um par de forças ascendentes exercidas pelo cabo que passa pela polia. Mas essa força não pode ser outra senão a tensão aplicada à corda na extremidade livre.

De modo que para cada polia do conjunto móvel haverá uma força vertical ascendente que vale 2T. Mas, uma vez que existem n polias no conjunto móvel, segue-se que a força total apontando verticalmente para cima é:

2 n T

Para que haja equilíbrio vertical é necessário que:

2 n T = P

portanto, a força aplicada na extremidade livre é:

T = P / (2 n)

Nesse caso, pode-se dizer que a força exercida T é multiplicada 2 n vezes na carga.

Por exemplo, se tivéssemos uma plataforma fatorial com 3 polias fixas e 3 móveis, o número n seria igual a 3. Por outro lado, se a carga fosse P = 120 kg, então a força aplicada na extremidade livre seria T = 120 kg / (2 * 3) = 20 kg.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Considere uma plataforma fatorial composta de duas polias fixas e duas polias móveis. A tensão máxima que o cabo pode suportar é de 60 kg. Determine qual é a carga máxima que pode ser colocada.

Solução

Quando a carga está em repouso ou se movendo com velocidade constante, seu peso P está relacionado à tensão T aplicada à corda por meio da seguinte relação:

P = 2 n T

Por se tratar de uma plataforma com duas polias móveis e duas fixas, então n = 2.

A carga máxima que pode ser colocada é obtida quando T tem o valor máximo possível, que neste caso é 60 kg.

Carga máxima = 2 * 2 * 60kg = 240kg

Exercício 2

Encontre a relação entre a tensão do cabo e o peso da carga, em uma plataforma fatorial de duas polias na qual a carga é acelerada com aceleração a.

Solução

A diferença desse exemplo em relação ao que foi visto até agora é que a dinâmica do sistema deve ser considerada. Portanto, propomos a segunda lei de Newton para encontrar a relação solicitada.

Figura 4. Dinâmica da plataforma fatorial.

Na figura 4 desenhamos em amarelo as forças devidas à tensão T da corda. A parte móvel da talha tem massa total M. Tomamos como sistema de referência um ao nível da primeira polia fixa e positivo para baixo.

Y1 é a posição do eixo da polia inferior.

Aplicamos a segunda lei de Newton para determinar a aceleração a1 da parte móvel da plataforma:

-4 T + Mg = M a1

Uma vez que o peso da carga é P = Mg, onde g é a aceleração da gravidade, a relação acima pode ser escrita:

-4T + P = P (a1 / g)

Se quiséssemos determinar a tensão aplicada à corda quando uma certa carga de peso P é acelerada com aceleração a1, a relação anterior seria semelhante a esta:

T = P (1 - a1 / g) / 4

Observe que se o sistema estivesse em repouso ou em movimento com velocidade constante, então a1 = 0, e recuperaríamos a mesma expressão que obtivemos no caso 2.

Exercício 3

Neste exemplo, o mesmo cordame do exercício 1 é usado, com a mesma corda que suporta no máximo 60 kg de tensão. Uma determinada carga sobe, acelerando-a do repouso para 1 m / s em 0,5 s, utilizando a tensão máxima da corda. Encontre o peso máximo da carga.

Solução

Usaremos as expressões obtidas no Exercício 2 e o sistema de referência na Figura 4 em que a direção positiva é vertical para baixo.

A aceleração da carga é a1 = (-1 m / s - 0 m / s) / 0,5 s = -2 m / s ^ 2.

O peso da carga em quilograma-força é dado por

P = 4 T / (1 - a1 / g)

P = 4 * 60 kg / (1 + 2 / 9,8) = 199,3 kg

Este é o peso máximo possível da carga sem a quebra do cabo. Observe que o valor obtido é inferior ao obtido no Exemplo 1, no qual a carga foi assumida como tendo aceleração zero, ou seja, em repouso ou em velocidade constante.

Referências

1. Sears, Zemansky. 2016. Física Universitária com Física Moderna. 14º. Ed. Volume 1. 101-120.
2. Resnick, R. (1999). Fisica. Vol. 1. 3ª Ed. Em espanhol. Compañía Editorial Continental SA de CV 87-103.
3. Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6º. Ed. Prentice Hall. 72-96.
4. Hewitt, Paul. 2012. Ciência Física Conceitual. 5 ª. Ed. Pearson.38-61.
5. Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. 7º. Ed. Cengage Learning. 100-119.