LIMITE DE FERMAT: EM QUE CONSISTE E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - MATEMÁTICAS - 2024

O limite de Fermat é um método numérico utilizado para obter o valor da inclinação de uma reta tangente a uma função em um determinado ponto de seu domínio. Também é usado para obter pontos críticos de uma função. Sua expressão é definida como:

É óbvio que Fermat não conhecia os fundamentos da derivação, porém foram seus estudos que levaram um grupo de matemáticos a indagar sobre as retas tangentes e suas aplicações no cálculo.

Qual é o limite de Fermat?

Consiste em uma aproximação de 2 pontos, que nas condições anteriores formavam uma linha secante para a função com interseção em pares de valores.

Ao aproximar a variável do valor "a", o par de pontos é forçado a se encontrar. Desta forma, a linha previamente secante torna-se tangente ao ponto (a; f (a)).

O valor do quociente (x - a), quando avaliado no ponto “a”, produz uma indeterminação de limites do tipo K entre zero (K / 0). Onde, por meio de diferentes técnicas de fatoração, essas indeterminações podem ser quebradas.

As técnicas operacionais mais comumente usadas são:

-Diferença de quadrados (a ² - b ²) = (a + b) (a - b); A existência do elemento (a - b) implica na maioria dos casos o fator que simplifica a expressão (x - a) no quociente do limite de Fermat.

- Preenchimento de quadrados (ax ² + bx); Após completar os quadrados, obtém-se um binômio de Newton, onde um de seus 2 fatores é simplificado com a expressão (x - a), quebrando a indeterminação.

- Conjugado (a + b) / (a ​​+ b); Multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado de algum fator pode ser de grande ajuda para quebrar a indeterminação.

- Fator comum; Em muitos casos, o resultado da operação do numerador do limite de Fermat f (x) - f (a) oculta o fator (x - a) necessário para fatorar. Para isso, deve-se observar cuidadosamente quais elementos se repetem em cada fator da expressão.

Aplicação do limite de Fermat para máximos e mínimos

Mesmo que o limite de Fermat não diferencie entre máximos e mínimos, visto que só consegue identificar os pontos críticos de acordo com sua definição, é comumente usado no cálculo de limites ou pisos de funções no plano.

Um conhecimento básico da teoria gráfica das funções em conjunto com este teorema pode ser suficiente para estabelecer os valores máximo e mínimo entre as funções. Na verdade, os pontos de inflexão podem ser definidos por meio do teorema do valor médio, além do teorema de Fermat.

A parábola cúbica

O paradoxo mais significativo para Fermat veio do estudo da parábola cúbica. Como sua atenção estava voltada para as linhas tangentes de uma função para um determinado ponto, ele se deparou com o problema de definir essa linha tangente no ponto de inflexão da função.

Parecia impossível determinar a linha tangente a um ponto. Assim começa a indagação que daria origem ao cálculo diferencial. Definido posteriormente por importantes expoentes da matemática.

Máximo e mínimo

O estudo dos máximos e mínimos de uma função foi um desafio para a matemática clássica, onde um método prático e inequívoco era necessário para defini-los.

Fermat criou um método baseado na operação de pequenos valores diferenciais, que após processos de factoring, são eliminados, dando lugar ao valor máximo e mínimo pretendido.

Esta variável deverá ser avaliada na expressão original para determinar a coordenada desse ponto, que junto com os critérios analíticos será definida como o máximo ou mínimo da expressão.

Método

Em seu método, Fermat usa o simbolismo literal de Vieta, que consistia no uso exclusivo de letras maiúsculas: vogais, para incógnitas, e consoantes, para quantidades conhecidas.

Para o caso dos valores radicais, Fermat implementou um processo particular, que posteriormente seria utilizado nas fatorações dos limites de indeterminação infinitos entre infinitos.

Este processo consiste em dividir cada expressão pelo valor do diferencial utilizado. No caso de Fermat, ele utilizou a letra E, onde após a divisão pela maior potência de E, o valor buscado do ponto crítico torna-se clarificável.

História

O limite de Fermat é de fato uma das contribuições menos conhecidas na longa lista do matemático. Seus estudos foram dos números primos para basicamente criar a base de cálculo.

Por sua vez, Fermat era conhecido por suas excentricidades com relação a suas hipóteses. Era comum ele deixar uma espécie de desafio para os outros matemáticos da época, quando já tinha a solução ou a prova.

Ele teve uma grande variedade de disputas e alianças com diferentes matemáticos da época, que o amavam ou odiavam trabalhar com ele.

Seu último teorema foi o principal responsável por sua fama mundial, onde afirmou que uma generalização do teorema de Pitágoras para qualquer grau "n" era impossível. Ele alegou ter uma prova válida disso, mas morreu antes de torná-la pública.

Essa demonstração teve que esperar cerca de 350 anos. Em 1995, os matemáticos Andrew Wiles e Richard Taylor, acabaram com a ansiedade deixada por Fermat, provando que ele estava certo por meio de uma prova válida de seu último teorema.

Exercícios

Exercício 1

Defina a inclinação da linha tangente à curva f (x) = x ² no ponto (4, 16)

Substituindo na expressão do limite de Fermat temos:

Os fatores (x - 4) são simplificados

Ao avaliar você tem

M = 4 + 4 = 8

Exercício 2

Defina o ponto crítico da expressão f (x) = x ² + 4x usando o limite de Fermat

É realizado um agrupamento estratégico de elementos, buscando agrupar os pares XX ₀

Os mínimos quadrados são desenvolvidos

Observe o fator comum XX _{0 e extraia}

A expressão agora pode ser simplificada e a indeterminação quebrada

Nos pontos mínimos sabe-se que a inclinação da reta tangente é igual a zero. Desta forma, podemos equalizar a expressão encontrada para zero e resolver para o valor X ₀

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

Para obter a coordenada que falta é apenas necessário avaliar o ponto na função original

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

O ponto crítico é P (-2, -4).

Referências

1. Análise real. A Historical Approach Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5 de agosto. 1999.
2. The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601-1665: Second Edition. Michael Sean Mahoney. Princeton University Press, 5 de junho. 2018
3. De Fermat a Minkowski: palestras sobre a teoria dos números e seu desenvolvimento histórico. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. Último Teorema de Fermat: Uma Introdução Genética à Teoria Algébrica dos Números. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14 de janeiro 2000
5. Fermat Dias 85: Matemática para Otimização. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1º de janeiro. 1986