MÉTODO AXIOMÁTICO: CARACTERÍSTICAS, ETAPAS, EXEMPLOS - VOCABULÁRIO DE CULTURA - 2025

O método axiomático ou também denominado Axiomática é um procedimento formal utilizado pelas ciências por meio do qual se formulam enunciados ou proposições denominadas axiomas, ligadas entre si por uma relação de dedutibilidade e que fundamentam as hipóteses ou condições de um determinado sistema.

Esta definição geral deve estar enquadrada na evolução que esta metodologia teve ao longo da história. Em primeiro lugar, existe um método antigo ou de conteúdo, nascido na Grécia Antiga a partir de Euclides e posteriormente desenvolvido por Aristóteles.

Em segundo lugar, já no século 19, o surgimento de uma geometria com axiomas diferentes dos de Euclides. E, finalmente, o método axiomático formal ou moderno, cujo maior expoente foi David Hilbert.

Além do seu desenvolvimento ao longo do tempo, este procedimento tem sido a base do método dedutivo, sendo utilizado na geometria e lógica onde se originou. Também tem sido usado em física, química e biologia.

E tem sido aplicado na ciência jurídica, sociologia e economia política. No entanto, atualmente sua esfera de aplicação mais importante é a matemática e a lógica simbólica e alguns ramos da física como a termodinâmica, a mecânica, entre outras disciplinas.

Caracteristicas

Embora a característica fundamental desse método seja a formulação de axiomas, eles nem sempre foram considerados da mesma forma.

Existem alguns que podem ser definidos e construídos de forma arbitrária. E outros, de acordo com um modelo em que sua verdade garantida é considerada intuitivamente.

Para entender especificamente em que consiste essa diferença e suas consequências, é necessário percorrer a evolução desse método.

Método axiomático antigo ou de conteúdo

É aquele estabelecido na Grécia Antiga por volta do século V aC Sua esfera de aplicação é a geometria. A obra fundamental desta etapa são os Elementos de Euclides, embora se considere que antes dele, Pitágoras, já havia dado origem ao método axiomático.

Assim, os gregos tomam certos fatos como axiomas, sem exigir nenhuma prova lógica, isto é, sem a necessidade de prova, visto que para eles são uma verdade evidente.

Por sua vez, Euclides apresenta cinco axiomas para a geometria:

1-Dados dois pontos existe uma linha que os contém ou une.

2-Qualquer segmento pode ser continuamente estendido em uma linha ilimitada em ambos os lados.

3-Você pode desenhar um círculo que tenha um centro em qualquer ponto e qualquer raio.

4-Os ângulos retos são todos iguais.

5-Pegando qualquer linha reta e qualquer ponto que não esteja nela, existe uma linha reta paralela a ela e que contém esse ponto. Esse axioma é conhecido, posteriormente, como axioma dos paralelos e também foi enunciado como: um único paralelo pode ser traçado de um ponto fora de uma linha.

No entanto, tanto Euclides como os matemáticos posteriores concordam que o quinto axioma não é tão intuitivamente claro quanto o outro 4. Mesmo durante a Renascença, tenta-se deduzir o quinto dos outros 4, mas não é possível.

Isso fez com que já no século XIX, aqueles que mantiveram as cinco fossem a favor da geometria euclidiana e aqueles que negaram a quinta, foram os que criaram as geometrias não euclidianas.

Método axiomático não euclidiano

São precisamente Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai e Johann Karl Friedrich Gauss que vêem a possibilidade de construir, sem contradição, uma geometria que vem de sistemas de axiomas outros que os de Euclides. Isso destrói a crença na verdade absoluta ou a priori dos axiomas e das teorias que derivam deles.

Consequentemente, os axiomas começam a ser concebidos como pontos de partida para uma dada teoria. Além disso, tanto sua escolha quanto o problema de sua validade em um sentido ou outro, começam a ser relacionados a fatos fora da teoria axiomática.

Desse modo, surgem teorias geométricas, algébricas e aritméticas construídas por meio do método axiomático.

Esse estágio culmina na criação de sistemas axiomáticos para aritmética como o de Giuseppe Peano em 1891; Geometria de David Hubert em 1899; as declarações e cálculos de predicados de Alfred North Whitehead e Bertrand Russell, na Inglaterra em 1910; A teoria axiomática dos conjuntos de Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo em 1908.

Método axiomático moderno ou formal

É David Hubert quem inicia a concepção de um método axiomático formal e que leva ao seu ponto culminante, David Hilbert.

É justamente Hilbert quem formaliza a linguagem científica, considerando seus enunciados como fórmulas ou sequências de signos que não têm sentido em si mesmos. Eles só adquirem significado em uma determinada interpretação.

Em "Os fundamentos da geometria", ele explica o primeiro exemplo dessa metodologia. A partir daqui, a geometria torna-se uma ciência de puras consequências lógicas, extraídas de um sistema de hipóteses ou axiomas, mais bem articulados que o sistema euclidiano.

Isso ocorre porque, no sistema antigo, a teoria axiomática é baseada na evidência dos axiomas. Enquanto no fundamento da teoria formal é dado pela demonstração da não contradição de seus axiomas.

Passos

O procedimento que realiza uma estruturação axiomática dentro das teorias científicas reconhece:

a - a escolha de um certo número de axiomas, isto é, uma série de proposições de uma certa teoria que são aceitas sem necessidade de serem provadas.

b- os conceitos que fazem parte dessas proposições não são determinados no âmbito da teoria dada.

c- as regras de definição e dedução da dada teoria são estabelecidas e permitem a introdução de novos conceitos dentro da teoria e deduzir logicamente algumas proposições de outras.

d - as outras proposições da teoria, ou seja, o teorema, são deduzidas de a com base em c.

Exemplos

Este método pode ser verificado através da prova dos dois teoremas de Euclides mais conhecidos: o teorema das pernas e o teorema da altura.

Ambos surgem da observação deste geômetra grego de que, quando a altura em relação à hipotenusa é traçada dentro de um triângulo retângulo, aparecem mais dois triângulos do original. Esses triângulos são semelhantes entre si e ao mesmo tempo semelhantes ao triângulo de origem. Isso pressupõe que seus respectivos lados homólogos são proporcionais.

Pode-se observar que os ângulos congruentes nos triângulos desta forma verificam a similaridade que existe entre os três triângulos envolvidos segundo o critério de similaridade AAA. Este critério afirma que, quando dois triângulos têm todos os mesmos ângulos, eles são semelhantes.

Uma vez que é mostrado que os triângulos são semelhantes, as proporções especificadas no primeiro teorema podem ser estabelecidas. A mesma afirmação de que em um triângulo retângulo, a medida de cada perna é a média proporcional geométrica entre a hipotenusa e a projeção da perna sobre ela.

O segundo teorema é o da altura. Ele especifica que qualquer triângulo retângulo com a altura desenhada de acordo com a hipotenusa é a média proporcional geométrica entre os segmentos que são determinados pela referida média geométrica na hipotenusa.

Claro, ambos os teoremas têm inúmeras aplicações em todo o mundo, não apenas no ensino, mas também na engenharia, física, química e astronomia.

Referências

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometria, formalismo e intuição: David Hilbert e o método axiomático formal (1895-1905). Revista de Filosofía, Vol. 39 No. 2, pp.121-146. Retirado de magazines.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Pensamento axiomático. Em W. Ewald, editor, de Kant a Hilbert: um livro de referência na fundação da matemática. Volume II, pp 1105-1114. Imprensa da Universidade de Oxford. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Qual é o método axiomático? Synthese, novembro de 2011, volume 189, pp.69-85. Retirado de link.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Introdução à Filosofia do Direito contemporânea. (pp.48-49). Retirado de books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) The Axiomatic Method, uma leitura de Ricardo Nirenberg, outono de 1996, the University at Albany, Project Renaissance. Retirado de Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert entre o lado formal e o lado informal da Matemática. Manuscript vol. 38 no. 2, Campinas jul / Augusto 2015. Retirado de scielo.br.