NÚMEROS IMAGINÁRIOS: PROPRIEDADES, APLICAÇÕES, EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2024

Os números imaginários são aqueles que resolvem a equação em que o desconhecido, elevado ao quadrado, é igual a um número real negativo. A unidade imaginária é i = √ (-1).

Na equação: z ² = - a, z é um número imaginário expresso da seguinte forma:

z = √ (-a) = i√ (a)

Sendo um número real positivo. Se a = 1, então z = i, onde i é a unidade imaginária.

Figura 1. Plano complexo mostrando alguns números reais, alguns números imaginários e alguns números complexos. Fonte: F. Zapata.

Em geral, um número imaginário puro z é sempre expresso na forma:

z = y⋅i

Onde y é um número real ei é a unidade imaginária.

Assim como os números reais são representados em uma linha, chamada de linha real, da mesma forma os números imaginários são representados na linha imaginária.

A linha imaginária é sempre ortogonal (forma de 90º) à linha real e as duas linhas definem um plano cartesiano denominado plano complexo.

Na figura 1 é mostrado o plano complexo e nele alguns números reais, alguns números imaginários e também alguns números complexos são representados:

X ₁, X ₂, X ₃ são números reais

Y ₁, Y ₂, Y ₃ são números imaginários

Z ₂ e Z ₃ são números complexos

O número O é o zero real e também é o zero imaginário, então a origem O é o zero complexo expresso por:

0 + 0i

Propriedades

O conjunto de números imaginários é denotado por:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

E você pode definir algumas operações neste conjunto numérico. Um número imaginário nem sempre é obtido a partir dessas operações, então vamos examiná-los com um pouco mais de detalhes:

Adicionar e subtrair imaginário

Números imaginários podem ser somados e subtraídos uns dos outros, resultando em um novo número imaginário. Por exemplo:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Produto do imaginário

Quando o produto de um número imaginário com outro é feito, o resultado é um número real. Vamos fazer a seguinte operação para verificar:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

E como podemos ver, -6 é um número real, embora tenha sido obtido pela multiplicação de dois números imaginários puros.

Produto de um número real por outro imaginário

Se um número real for multiplicado por i, o resultado será um número imaginário, que corresponde a uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário.

E é que i ² corresponde a duas rotações consecutivas de 90 graus, o que equivale a multiplicar por -1, ou seja, i ² = -1. Isso pode ser visto no diagrama a seguir:

Figura 2. A multiplicação pela unidade imaginária i corresponde a rotações de 90º no sentido anti-horário. Fonte: wikimedia commons.

Por exemplo:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Empoderamento de um imaginário

Você pode definir a potencialização de um número imaginário para um expoente inteiro:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Em geral, temos que i ⁿ = i ^ (n mod 4), onde mod é o resto da divisão entre n e 4.

A potenciação de número inteiro negativo também pode ser feita:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹) = i / (i ²) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Em geral, o número imaginário b⋅i elevado à potência n é:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Alguns exemplos são os seguintes:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Soma de um número real e um número imaginário

Quando você adiciona um número real com um imaginário, o resultado não é real nem imaginário, é um novo tipo de número denominado número complexo.

Por exemplo, se X = 3,5 e Y = 3,75i, então o resultado é o número complexo:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Observe que na soma as partes real e imaginária não podem ser agrupadas, então um número complexo sempre terá uma parte real e uma parte imaginária.

Esta operação estende o conjunto de números reais ao mais amplo dos números complexos.

Formulários

O nome de números imaginários foi proposto pelo matemático francês René Descartes (1596-1650) como uma zombaria ou desacordo com a proposta do mesmo feita pela matemática italiana do século Raffaelle Bombelli.

Outros grandes matemáticos, como Euler e Leibniz, apoiaram Descartes nessa discordância e chamaram os números imaginários de números anfíbios, que se dividiam entre o ser e o nada.

O nome dos números imaginários permanece até hoje, mas sua existência e importância são muito reais e palpáveis, uma vez que aparecem naturalmente em muitos campos da física como:

-A teoria da relatividade.

-Em eletromagnetismo.

-Mecânica quântica.

Exercícios com números imaginários

- Exercício 1

Encontre as soluções da seguinte equação:

z ² + 16 = 0

Solução

z ² = -16

Tomando raiz quadrada em ambos os membros, temos:

√ (z ²) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Em outras palavras, as soluções da equação original são:

z = + 4i oz = -4i.

- Exercício 2

Encontre o resultado de elevar a unidade imaginária à potência 5 menos a subtração da unidade imaginária elevada à potência -5.

Solução

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Exercício 3

Encontre o resultado da seguinte operação:

(3i) ³ + 9i

Solução

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Exercício 4

Encontre as soluções da seguinte equação quadrática:

(-2x) ² + 2 = 0

Solução

A equação é reorganizada da seguinte forma:

(-2x) ² = -2

Em seguida, a raiz quadrada de ambos os membros é obtida

√ ((- 2x) ²) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Em seguida, resolvemos x para finalmente obter:

x = ± √2 / 2 i

Ou seja, existem duas soluções possíveis:

x = (√2 / 2) i

Ou este outro:

x = - (√2 / 2) i

- Exercício 5

Encontre o valor de Z definido por:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Solução

Sabemos que a raiz quadrada de um número real negativo é um número imaginário, por exemplo √ (-9) é igual a √ (9) x √ (-1) = 3i.

Por outro lado, √ (-4) é igual a √ (4) x √ (-1) = 2i.

Portanto, a equação original pode ser substituída por:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Exercício 6

Encontre o valor de Z resultante da seguinte divisão de dois números complexos:

Z = (9 - i ²) / (3 + i)

Solução

O numerador da expressão pode ser fatorado usando a seguinte propriedade:

Assim:

Z = / (3 + i)

A expressão resultante é simplificada abaixo, deixando

Z = (3 - i)

Referências

1. Earl, R. Complex numbers. Recuperado de: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Mathematics 1st. Diversificado. Edições CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Seleção de tópicos de matemática. Publicações Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Número imaginário. Recuperado de: en.wikipedia.org