NÚMEROS NATURAIS: HISTÓRIA, PROPRIEDADES, OPERAÇÕES, EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2025

Os números naturais são aqueles que servem para contar o número de elementos de um determinado conjunto. Por exemplo, os números naturais são aqueles usados ​​para descobrir quantas maçãs há em uma caixa. Eles também são usados ​​para ordenar os elementos de um conjunto, por exemplo, os alunos da primeira série em ordem de tamanho.

No primeiro caso falamos de números cardinais e no segundo de números ordinais, de fato, "primeiro" e "segundo" são números naturais ordinais. Pelo contrário, um (1), dois (2) e três (3) são números naturais cardinais.

Figura 1. Os números naturais são aqueles usados ​​para contar e ordenar. Fonte: Pixabay.

Além de serem usados ​​para contagem e ordenação, os números naturais também são usados ​​como forma de identificar e diferenciar os elementos de um determinado conjunto.

Por exemplo, a carteira de identidade possui um número único, atribuído a cada pessoa que pertence a um determinado país.

Em notação matemática, o conjunto de números naturais é denotado assim:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, ………}

E o conjunto de números naturais com zero é denotado desta outra forma:

ℕ ⁺ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}

Em ambos os conjuntos, as elipses indicam que os elementos continuam consecutivamente até o infinito, sendo a palavra infinito a forma de dizer que o conjunto não tem fim.

Não importa o quão grande seja um número natural, você sempre pode obter o próximo maior.

História

Antes do aparecimento dos números naturais, ou seja, o conjunto de símbolos e nomes para denotar uma certa quantidade, os primeiros humanos usavam outro conjunto de comparação, por exemplo, os dedos das mãos.

Então, para dizer que encontraram uma manada de cinco mamutes, eles usaram os dedos de uma mão para simbolizar esse número.

Este sistema pode variar de um grupo humano para outro, talvez outros usem em vez de seus dedos um grupo de paus, pedras, contas de colar ou nós em uma corda. Mas o mais seguro é que usaram os dedos.

Então os símbolos começaram a aparecer para representar uma certa quantidade. No início, eram marcas em um osso ou uma vara.

Gravações cuneiformes em placas de argila, representando símbolos numéricos e datando de 400 aC, são conhecidas na Mesopotâmia, que agora é a nação do Iraque.

Os símbolos estavam evoluindo, então os gregos e mais tarde os romanos usaram letras para denotar números.

Números arábicos

Os números arábicos são o sistema que usamos hoje e foram trazidos para a Europa pelos árabes que ocuparam a Península Ibérica, mas na verdade foram inventados na Índia, por isso são conhecidos como sistema de numeração indo-arábico.

Nosso sistema de numeração é baseado em dez, porque existem dez dedos.

Temos dez símbolos para expressar qualquer quantidade numérica, um símbolo para cada dedo da mão.

Esses símbolos são:

Com esses símbolos, é possível representar qualquer quantidade usando o sistema posicional: 10 é dez unidades zero, 13 é dez e três unidades, 22 duas dezenas duas unidades.

Deve ficar claro que, além dos símbolos e do sistema de numeração, os números naturais sempre existiram e sempre foram de uma forma ou de outra usados ​​pelos humanos.

Propriedades dos números naturais

O conjunto de números naturais é:

ℕ + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}

E com eles você pode contar o número de elementos em outro conjunto ou também ordenar esses elementos, se a cada um for atribuído um número natural.

É infinito e contável

O conjunto de números naturais é um conjunto ordenado que possui infinitos elementos.

Porém, é um conjunto contável no sentido de que é possível saber quantos elementos ou números naturais existem entre um número e outro.

Por exemplo, sabemos que entre 5 e 9 existem cinco elementos, incluindo 5 e 9.

É um conjunto bacana

Sendo um conjunto ordenado, você pode saber quais números estão depois ou antes de um determinado número. Desta forma, é possível estabelecer, entre dois elementos do conjunto natural, relações de comparação como estas:

7> 3 significa que sete é maior que três

2 <11 é lido dois é menos que onze

Eles podem ser agrupados (operação de adição)

3 + 2 = 5 significa que se você unir três elementos com dois elementos, terá cinco elementos. O símbolo + denota a operação de adição.

Operações com números naturais

- Soma

1.- A adição é uma operação interna, no sentido de que se somarem dois elementos do conjunto natural de números naturais, obter-se-á outro elemento pertencente ao referido conjunto. Simbolicamente, seria assim:

2.- A operação de soma nos naturais é comutativa, o que significa que o resultado é o mesmo mesmo que os adendos sejam invertidos. Simbolicamente, é expresso assim:

Se a ∊ ℕ eb ∊ ℕ, então a + b = b + a = c onde c ∊ ℕ

Por exemplo, 3 + 5 = 8 e 5 + 3 = 8, onde 8 é um elemento dos números naturais.

3.- A soma dos números naturais cumpre a propriedade associativa:

a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c

Um exemplo tornará isso mais claro. Podemos adicionar assim:

3 + 6 + 8 = 3 + (6 + 8) = 3 + 14 = 17

E desta forma também:

3 + 6 + 8 = (3 + 6) + 8 = 9 + 8 = 17

Finalmente, se você adicionar desta forma, também obterá o mesmo resultado:

3 + 6 + 8 = (3 + 8) + 6 = 11 + 6 = 17

4.- Existe o elemento neutro da soma e este elemento é zero: a + 0 = 0 + a = a. Por exemplo:

7 + 0 = 0 + 7 = 7.

- Subtração

-O operador de subtração é denotado pelo símbolo -. Por exemplo:

5 - 3 = 2.

É importante que o primeiro operando seja maior ou igual a (≥) do que o segundo operando, caso contrário, a operação de subtração não seria definida nos naturais:

a - b = c, onde c ∊ ℕ se e somente se a ≥ b.

- Multiplicação

-A multiplicação é denotada por a ⋅ por meio de somar a si mesma b vezes. Por exemplo: 6 ⋅ 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24.

- Divisão

A divisão é denotada por: a ÷ por meio de quantas vezes b em a. Por exemplo, 6 ÷ 2 = 3 porque 2 está contido em 6 três vezes (3).

Exemplos

Figura 2. Os números naturais permitem que você conte quantas maçãs uma caixa tem. Fonte: pixabay

- Exemplo 1

Em uma caixa, 15 maçãs são contadas, enquanto em outra, 22 maçãs são contadas. Se todas as maçãs da segunda caixa forem colocadas na primeira, quantas maçãs haverá na primeira caixa?

Resposta

15 + 22 = 37 maçãs.

- Exemplo 2

Se na caixa de 37 maçãs 5 forem removidas, quantas sobrarão na caixa?

Resposta

37 - 5 = 32 maçãs.

- Exemplo 3

Se você tiver 5 caixas com 32 maçãs cada, quantas maçãs haverá ao todo?

Resposta

A operação seria adicionar 32 consigo mesmo 5 vezes o que é denotado assim:

32 ⋅ 5 = 32 + 32 + 32 + 32 + 32 = 160

- Exemplo 4

Você deseja dividir uma caixa de 32 maçãs em 4 partes. Quantas maçãs cada parte conterá?

Resposta

A operação é uma divisão denotada assim:

32 ÷ 4 = 8

Ou seja, existem quatro grupos de oito maçãs cada.

Referências

1. Conjunto de números naturais para a quinta série do ensino fundamental. Recuperado de: Activitieseducativas.net
2. Matemática para crianças. Números naturais. Recuperado de: elhuevodechocolate.com
3. Martha. Números naturais. Recuperado de: superprof.es
4. Um professor. Os números naturais. Recuperado de: unprofesor.com
5. wikipedia. Número natural. Recuperado de: wikipedia.com