TRIÂNGULOS: HISTÓRIA, ELEMENTOS, CLASSIFICAÇÃO, PROPRIEDADES - CIÊNCIA - 2025

Os triângulos são figuras geométricas planas e fechadas, constituídas por três lados. Um triângulo é determinado por três linhas que se cruzam duas a duas, formando três ângulos entre si. A forma triangular, carregada de simbolismo, está presente em inúmeros objetos e como elemento de construção.

A origem do triângulo se perdeu na história. Pelas evidências arqueológicas sabe-se que a humanidade primitiva o conhecia bem, pois os vestígios arqueológicos confirmam que era usado em ferramentas e armas.

Figura 1. Triângulos. Fonte: Publicdomainpictures.

É também evidente que os antigos egípcios possuíam um conhecimento sólido de geometria e, em particular, da forma triangular. Eles se refletiram nos elementos arquitetônicos de seus edifícios monumentais.

No papiro Rhind você encontrará fórmulas para calcular as áreas de triângulos e trapézios, bem como alguns volumes e outros conceitos de trigonometria rudimentar.

Por sua vez, sabe-se que os babilônios conseguiam calcular a área do triângulo e outras figuras geométricas, que usavam para fins práticos, como as divisões do terreno. Eles também conheciam muitas propriedades dos triângulos.

No entanto, foram os gregos antigos que sistematizaram muitos dos conceitos geométricos prevalecentes hoje, embora muito desse conhecimento não fosse exclusivo, uma vez que certamente era compartilhado com essas outras civilizações antigas.

Elementos de triângulo

Os elementos de qualquer triângulo são indicados na figura a seguir. Existem três: vértices, lados e ângulos.

Figura 2. Notação de triângulos e seus elementos. Fonte: Wikimedia Commons, modificado por F. Zapata

-Vértices: são os pontos de intersecção das linhas cujos segmentos determinam o triângulo. Na figura acima, por exemplo, a linha L _AC que contém o segmento AC cruza a linha L _AB que contém o segmento AB precisamente no ponto A.

- Lados: entre cada par de vértices é desenhado um segmento de reta que constitui um lado do triângulo. Este segmento pode ser denotado pelas letras finais ou usando uma letra específica para chamá-lo. No exemplo da figura 2, o lado AB também é denominado "c".

- Ângulos: Entre cada lado com um vértice comum se origina um ângulo, cujo vértice coincide com o do triângulo. Geralmente, o ângulo é denotado por uma letra grega, conforme indicado no início.

Para construir um triângulo específico, com uma determinada forma e tamanho, basta ter um dos seguintes conjuntos de dados:

-Os três lados, bastante óbvios no caso de um triângulo.

-Dois lados e o ângulo entre eles, e imediatamente o lado restante é desenhado.

-Dois ângulos (internos) e o lado entre eles. Por extensão, os dois lados que faltam são desenhados e o triângulo está pronto.

Notação

Geralmente, na notação de triângulo, as seguintes convenções são usadas: os vértices são indicados por letras latinas maiúsculas, os lados por letras latinas minúsculas e os ângulos por letras gregas (veja a figura 2).

Desta forma, o triângulo é nomeado de acordo com seus vértices. Por exemplo, o triângulo à esquerda na figura 2 é o triângulo ABC, e o da direita é o triângulo A'B'C '.

Também é possível usar outras notações; por exemplo, o ângulo α na Figura 2 é denotado como BAC. Observe que a letra do vértice fica no meio e as letras são escritas no sentido anti-horário.

Outras vezes, um acento circunflexo é usado para denotar o ângulo:

α = ∠A

Tipos de triângulos

Existem vários critérios para classificar triângulos. O mais usual é classificá-los de acordo com a medida de seus lados ou de acordo com a medida de seus ângulos. Dependendo da medida de seus lados, os triângulos podem ser: escalenos, isósceles ou equiláteros:

-Scaleno: seus três lados são diferentes.

-Isósceles: tem dois lados iguais e um lado diferente.

-Equilátero: os três lados são iguais.

Figura 3. Classificação dos triângulos por seus lados. Fonte: F. Zapata

De acordo com a medida de seus ângulos, os triângulos são nomeados assim:

- Obstrução, se um dos ângulos internos for maior que 90º.

- Ângulo agudo, quando os três ângulos internos do triângulo são agudos, ou seja, menores que 90º

- Retângulo, caso um de seus ângulos internos valha 90º. Os lados que formam 90º são chamados de pernas e o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa.

Figura 4. Classificação dos triângulos por seus ângulos internos. Fonte: F. Zapata.

Congruência de triângulos

Quando dois triângulos têm a mesma forma e são do mesmo tamanho, eles são considerados congruentes. É claro que a congruência está relacionada à igualdade, então por que em geometria falamos de "dois triângulos congruentes" em vez de "dois triângulos iguais"?

Bem, é preferível usar o termo "congruência" para se ater à verdade, uma vez que dois triângulos podem ter a mesma forma e tamanho, mas estar orientados de forma diferente no plano (ver figura 3). Do ponto de vista da geometria, eles não seriam mais estritamente os mesmos.

Figura 5. Triângulos congruentes, mas não necessariamente iguais, pois sua orientação no plano é diferente. Fonte: F. Zapata.

Critérios de congruência

Dois triângulos são congruentes se algum dos seguintes ocorrer:

-Os três lados têm a mesma medida (novamente, este é o mais óbvio).

-Têm dois lados idênticos e com o mesmo ângulo entre eles.

-Ambos têm dois ângulos internos idênticos e o lado entre esses ângulos mede o mesmo.

Como se pode ver, trata-se dos dois triângulos que atendem às condições necessárias para que, quando construídos, sua forma e tamanho sejam exatamente os mesmos.

Os critérios de congruência são muito úteis, pois na prática inúmeras peças e peças mecânicas devem ser fabricadas em série, de forma que suas medidas e formas sejam exatamente as mesmas.

Similaridade de triângulos

Um triângulo é semelhante a outro se tiverem a mesma forma, mesmo que sejam de tamanhos diferentes. Para garantir que a forma seja a mesma, é necessário que os ângulos internos tenham o mesmo valor e que os lados sejam proporcionais.

Figura 6. Dois triângulos semelhantes: seus tamanhos diferem, mas suas proporções são as mesmas. Fonte: F. Zapata.

Os triângulos na figura 2 também são semelhantes, assim como os da figura 6. Desta forma:

Quanto aos lados, as seguintes razões de similaridade se mantêm:

Propriedades

As propriedades fundamentais dos triângulos são as seguintes:

-A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180º.

-Para qualquer triângulo, a soma de seus ângulos externos é igual a 360 °.

- Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a esse ângulo.

Teoremas

Primeiro Teorema de Tales

Eles são atribuídos ao filósofo e matemático grego Tales de Mileto, que desenvolveu vários teoremas relacionados à geometria. O primeiro deles afirma o seguinte:

Figura 7. Teorema de Tales. Fonte: F. Zapata.

Em outras palavras:

a / a´ = b / b´ = c / c´

O primeiro teorema de Tales é aplicável a um triângulo, por exemplo, temos o triângulo azul ABC à esquerda, que é cortado pelos paralelos vermelhos à direita:

Figura 8. Teorema de Tales e triângulos semelhantes.

O triângulo violeta AB'C 'é semelhante ao triângulo azul ABC, portanto, de acordo com o teorema de Tales, o seguinte pode ser escrito:

AB´ / AC´ = AB / AC

E está de acordo com o que foi explicado anteriormente no segmento de semelhança dos triângulos. A propósito, as linhas paralelas também podem ser verticais ou paralelas à hipotenusa e triângulos semelhantes são obtidos da mesma forma.

Segundo teorema de Tales

Este teorema também se refere a um triângulo e um círculo com centro O, como os mostrados abaixo. Nesta figura, AC é o diâmetro da circunferência e B é um ponto dela, B sendo diferente de A e B.

O segundo teorema de Tales afirma que:

Figura 9. Segundo teorema de Tales. Fonte: Wikimedia Commons. Carga indutiva.

O teorema de Pitágoras

Este é um dos teoremas mais famosos da história. É devido ao matemático grego Pitágoras de Samos (569 - 475 aC) e é aplicável a um triângulo retângulo. Diz assim:

Se tomarmos como exemplo o triângulo azul na figura 8, ou o triângulo roxo, uma vez que ambos são retângulos, então pode-se afirmar que:

AC ² = AB ² + BC ² (triângulo azul)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (triângulo roxo)

A área de um triângulo

A área do triângulo é dada pelo produto de sua base a e sua altura h, dividido por 2. E por trigonometria, essa altura pode ser escrita como h = b sinθ.

Figura 10. Área do triângulo. Fonte: Wikimedia Commons.

Exemplos de triângulos

Exemplo 1

Diz-se que por meio de seu primeiro teorema, Tales conseguiu medir a altura da Grande Pirâmide do Egito, uma das 7 maravilhas do mundo antigo, medindo a sombra que ela projetava no solo e aquela projetada por uma estaca cravada no solo.

Este é o esboço do procedimento seguido por Tales:

Figura 11. Esquema para medir a altura da Grande Pirâmide por semelhança de triângulos. Fonte: Wikimedia Commons. Dake

Tales presumiu corretamente que os raios do sol batem em paralelo. Com isso em mente, ele imaginou o grande triângulo retângulo à direita.

Lá D é a altura da pirâmide e C é a distância acima do solo medida do centro à sombra projetada pela pirâmide no solo do deserto. Pode ser trabalhoso medir C, mas certamente é mais fácil do que medir a altura da pirâmide.

À esquerda está o pequeno triângulo, com pernas A e B, onde A é a altura da estaca cravada verticalmente no solo e B é a sombra que ela projeta. Ambos os comprimentos são mensuráveis, assim como C (C é igual ao comprimento da sombra + metade do comprimento da pirâmide).

Então, por semelhança de triângulos:

A / B = D / C

E a altura da Grande Pirâmide acaba sendo: D = C. (A / B)

Exemplo 2

As treliças na construção civil são estruturas feitas de finas barras retas de madeira ou metal entrecruzadas, que servem de suporte em muitas edificações. Eles também são conhecidos como treliças, treliças ou treliças.

Neles os triângulos estão sempre presentes, uma vez que as barras estão interligadas em pontos chamados nós, que podem ser fixos ou articulados.

Figura 12. O triângulo está presente na moldura desta ponte. Fonte: PxHere.

Exemplo 3

O método conhecido como triangulação permite obter a localização de pontos inacessíveis conhecendo outras distâncias mais fáceis de medir, desde que seja formado um triângulo que inclua a localização desejada entre seus vértices.

Por exemplo, na figura a seguir, queremos saber onde o navio está no mar, indicado como B.

Figura 13. Esquema de triangulação para localizar o navio. Fonte: Wikimedia Commons. Colette

Primeiramente, é medida a distância entre dois pontos na costa, que na figura são A e C. Em seguida, os ângulos α e β devem ser determinados com o auxílio de um teodolito, dispositivo utilizado para medir ângulos verticais e horizontais.

Com todas essas informações, um triângulo é construído em cujo vértice superior é a nave. Restaria calcular o ângulo γ, usando as propriedades dos triângulos e as distâncias AB e CB usando a trigonometria, para determinar a posição do navio no mar.

Exercícios

Exercício 1

Na figura mostrada, os raios do sol são paralelos. Dessa forma, a árvore de 5 metros de altura projeta uma sombra de 6 metros no solo. Ao mesmo tempo, a sombra do prédio é de 40 metros. Seguindo o primeiro teorema de Tales, encontre a altura do edifício.

Figura 14. Esquema do exercício resolvido 1. Fonte: F. Zapata.

Solução

O triângulo vermelho tem lados de 5 e 6 metros respectivamente, enquanto o azul tem altura H - a altura do prédio - e base de 40 metros. Ambos os triângulos são semelhantes, portanto:

Exercício 2

Você precisa saber a distância horizontal entre os dois pontos A e B, mas eles estão localizados em terreno muito irregular.

Aproximadamente no ponto médio (P _m) do referido terreno destaca-se uma saliência de 1,75 metros de altura. Se a fita métrica indica 26 metros de comprimento medido de A à proeminência e 27 metros de B ao mesmo ponto, encontre a distância AB.

Figura 15. Esquema do exercício resolvido 2. Fonte: Jiménez, R. Mathematics II. Geometria e trigonometria.

Solução

O teorema de Pitágoras é aplicado a um dos dois triângulos retângulos da figura. Começando com o da esquerda:

Hipotenusa = c = 26 metros

Altura = a = 1,75 metros

AP _m = (26 ² - 1,75 ²) ^1/2 = 25,94 m

Agora aplique Pitágoras no triângulo à direita, desta vez c = 27 metros, a = 1,75 metros. Com estes valores:

BP _m = (27 ² - 1,75 ²) ^1/2 = 26,94 m

A distância AB é encontrada adicionando estes resultados:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Referências

1. Baldor, JA 1973. Plane and Space Geometry. Cultural da América Central.
2. Barredo, D. A geometria do triângulo. Recuperado de: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Mathematics II. Geometria e trigonometria. Segunda edição. Pearson.
4. Wentworth, G. Plane Geometry. Recuperado de: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Triângulo. Recuperado de: es. wikipedia.org.