ANTIDERIVADA: FÓRMULAS E EQUAÇÕES, EXEMPLOS, EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2025

Uma antiderivada F (x) de uma função f (x) também é chamada de primitiva ou simplesmente a integral indefinida dessa função, se em um dado intervalo I, se cumpre que F´ (x) = f (x)

Por exemplo, vamos usar a seguinte função:

f (x) = 4x ³

Uma antiderivada dessa função é F (x) = x ⁴, pois ao diferenciar F (x) usando a regra de derivação para potências:

Obtemos precisamente f (x) = 4x ³.

Porém, esta é apenas uma das muitas antiderivadas de f (x), visto que esta outra função: G (x) = x ⁴ + 2 também é, porque ao diferenciar G (x) em relação ax, a mesma é obtida voltar f (x).

Vamos dar uma olhada:

Lembre-se de que a derivada de uma constante é 0. Portanto, podemos adicionar qualquer constante ao termo x ⁴ e sua derivada permanecerá 4x ³.

Conclui-se que qualquer função da forma geral F (x) = x ⁴ + C, onde C é uma constante real, serve como uma antiderivada de f (x).

O exemplo ilustrativo acima pode ser expresso assim:

dF (x) = 4x ³ dx

A antiderivada ou integral indefinida é expressa com o símbolo ∫, portanto:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

Onde a função f (x) = 4x ³ é chamada de integrando e C é a constante de integração.

Exemplos de antiderivadas

Figura 1. A antiderivada nada mais é do que uma integral indefinida. Fonte: Pixabay.

Encontrar uma antiderivada de uma função é simples em alguns casos onde os derivados são bem conhecidos. Por exemplo, seja a função f (x) = sin x, uma antiderivada para ela é outra função F (x), de forma que ao diferenciá-la obtemos f (x).

Essa função pode ser:

F (x) = - cos x

Vamos verificar se é verdade:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Portanto, podemos escrever:

∫sen x dx = -cos x + C

Além de conhecer as derivadas, existem regras básicas e simples de integração para encontrar a antiderivada ou integral indefinida.

Seja k uma constante real, então:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Se uma função h (x) pode ser expressa como a adição ou subtração de duas funções, então sua integral indefinida é:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Esta é a propriedade da linearidade.

A regra de poderes para integrais pode ser estabelecida desta forma:

Para o caso de n = -1, a seguinte regra é usada:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C

É fácil mostrar que a derivada de ln x é precisamente x ^-1.

Equações diferenciais

Uma equação diferencial é aquela em que a incógnita é encontrada como uma derivada.

Agora, a partir da análise anterior, é fácil perceber que a operação inversa da derivada é a antiderivada ou integral indefinida.

Seja f (x) = y´ (x), ou seja, a derivada de uma determinada função. Podemos usar a seguinte notação para indicar esta derivada:

Segue-se imediatamente que:

A incógnita da equação diferencial é a função y (x), aquela cuja derivada é f (x). Para resolvê-lo, a expressão anterior é integrada em ambos os lados, o que equivale a aplicar a antiderivada:

A integral esquerda é resolvida pela regra de integração 1, com k = 1, resolvendo assim a incógnita desejada:

E como C é uma constante real, para saber qual é a mais apropriada em cada caso, a declaração deve conter informações adicionais suficientes para calcular o valor de C. Isso é chamado de condição inicial.

Veremos exemplos de aplicação de tudo isso na próxima seção.

Exercícios antiderivados

- Exercício 1

Aplique as regras de integração para obter as seguintes antiderivadas ou integrais indefinidos das funções dadas, simplificando os resultados tanto quanto possível. É conveniente verificar o resultado por derivação.

Figura 2. Exercícios de antiderivadas ou integrais definidos. Fonte: Pixabay.

Solução para

Aplicamos a regra 3 primeiro, uma vez que o integrando é a soma de dois termos:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Para a primeira integral, a regra de potência se aplica:

∫ dx = (x ² /2) + C ₁

Na segunda regra integral, 1 é aplicado, onde k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

E agora os resultados foram adicionados. As duas constantes são agrupadas em uma, genericamente denominada C:

∫ (x + 7) dx = (x ² /2) + C + 7x

Solução b

Por linearidade, esta integral é decomposta em três integrais mais simples, aos quais a regra de potência será aplicada:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Observe que uma constante de integração aparece para cada integral, mas eles se encontram em uma única chamada C.

Solução c

Nesse caso, é conveniente aplicar a propriedade distributiva de multiplicação para desenvolver o integrando. Em seguida, a regra de potência é usada para encontrar cada integral separadamente, como no exercício anterior.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

O leitor atento notará que os dois termos centrais são semelhantes, portanto, eles são reduzidos antes de integrar:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

Solução e

Uma forma de resolver a integral seria desenvolver a potência, como foi feito no exemplo d. No entanto, como o expoente é maior, seria aconselhável alterar a variável, para não ter que fazer um desenvolvimento tão longo.

A mudança de variável é a seguinte:

u = x + 7

Derivando esta expressão para ambos os lados:

du = dx

A integral é transformada em uma mais simples com a nova variável, que é resolvida com a regra de potência:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

Finalmente, a alteração é retornada para retornar à variável original:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- Exercício 2

Uma partícula está inicialmente em repouso e se move ao longo do eixo x. Sua aceleração para t> 0 é dada pela função a (t) = cos t. Sabe-se que em t = 0 a posição é x = 3, tudo em unidades do Sistema Internacional. É solicitado encontrar a velocidade v (t) e a posição x (t) da partícula.

Solução

Uma vez que a aceleração é a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo, temos a seguinte equação diferencial:

a (t) = v´ (t) = cos t

Segue que:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

Por outro lado, sabemos que a velocidade por sua vez é a derivada da posição, portanto integramos novamente:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

As constantes de integração são determinadas a partir das informações fornecidas na declaração. Em primeiro lugar, diz que a partícula estava inicialmente em repouso, portanto v (0) = 0:

v (0) = sen 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Então temos x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

As funções de velocidade e posição são definitivamente assim:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

Referências

1. Engler, A. 2019. Integral Calculus. Universidade Nacional do Litoral.
2. Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
3. Textos Livres de Matemática. Antiderivados. Recuperado de: math.liibretexts.org.
4. Wikipedia. Antiderivado. Recuperado de: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Integração indefinida. Recuperado de: es.wikipedia.org.