APROXIMAÇÃO DE DEFAULT E EXCESSO: O QUE É E EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2025

A sub e sobre aproximação é um método numérico usado para estabelecer o valor de um número de acordo com diferentes escalas de precisão. Por exemplo, o número 235.623 está próximo de 235,6 por padrão e 235,7 por excesso. Se considerarmos os décimos como um limite de erro.

A aproximação consiste em substituir uma figura exata por outra, onde tal substituição deve facilitar o funcionamento de um problema matemático, preservando a estrutura e a essência do problema.

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A ≈B

Ele lê; Um aproximado B. Onde "A" representa o valor exato e "B" o valor aproximado.

Números significativos

Os valores com os quais um número aproximado é definido são conhecidos como algarismos significativos. Na aproximação do exemplo quatro algarismos significativos foram tomados. A precisão de um número é dada pelo número de algarismos significativos que o definem.

Os zeros infinitos que podem ser localizados à direita e à esquerda do número não são considerados algarismos significativos. A localização da vírgula não desempenha nenhum papel na definição dos algarismos significativos de um número.

750385

…. 00.0075038500….

75.038500000…..

750385000…..

….. 000007503850000…..

Em que consiste?

O método é bastante simples; escolha o limite de erro, que nada mais é do que a faixa numérica onde você deseja fazer o corte. O valor dessa faixa é diretamente proporcional à margem de erro do número aproximado.

No exemplo acima, 235.623 possui milésimos (623). Então a aproximação aos décimos foi feita. O valor excedente (235,7) corresponde ao valor mais significativo em décimos imediatamente após o número original.

Por outro lado, o valor padrão (235,6) corresponde ao valor mais próximo e significativo em décimos que está antes do número original.

A aproximação numérica é bastante comum na prática com números. Outros métodos amplamente usados ​​são arredondamento e truncamento; que respondem a diferentes critérios para atribuir os valores.

A margem de erro

Ao definir a faixa numérica que o número cobrirá após ser aproximado, também definimos o limite de erro que acompanha a figura. Isso será denotado com um número racional existente ou significativo no intervalo atribuído.

No exemplo inicial, os valores definidos por excesso (235,7) e por default (235,6) possuem um erro aproximado de 0,1. Em estudos estatísticos e de probabilidade, 2 tipos de erros são tratados em relação ao valor numérico; erro absoluto e erro relativo.

Balanças

Os critérios para estabelecer faixas de aproximação podem ser altamente variáveis ​​e estão intimamente relacionados às especificações do elemento a ser aproximado. Em países com inflação alta, as aproximações de excesso ignoram algumas faixas numéricas, uma vez que são inferiores à escala inflacionária.

Dessa forma, em uma inflação maior que 100%, um vendedor não ajustará um produto de $ 50 a $ 55, mas o aproximará de $ 100, ignorando assim as unidades e dezenas ao se aproximar diretamente da centena.

Usando a calculadora

As calculadoras convencionais trazem consigo o modo FIX, onde o usuário pode configurar a quantidade de casas decimais que deseja receber em seus resultados. Isso gera erros que devem ser considerados ao fazer cálculos exatos.

Aproximação de números irracionais

Alguns valores amplamente utilizados em operações numéricas pertencem ao conjunto dos números irracionais, cuja principal característica é ter um número indeterminado de casas decimais.

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Valores como:

• π = 3,141592654….
• e = 2,718281828…
• √2 = 1,414213562…

São comuns na experimentação e seus valores devem ser definidos em uma determinada faixa, levando em consideração os possíveis erros gerados.

Para que servem?

No caso da divisão (1 ÷ 3), observa-se, por meio da experimentação, a necessidade de se estabelecer um corte no número de operações realizadas para definir o número.

1 ÷ 3 = 0,333333……

1 ÷ 3 3/10 = 0,3

1 ÷ 3 33/100 = 0,33

1 ÷ 3 333/1000 = 0,333

1 ÷ 3 3333/10000 = 0,3333

1 ÷ 3 333333….. / 10000….. = 0,333333…..

É apresentada uma operação que pode se perpetuar indefinidamente, por isso é necessário aproximar em algum ponto.

No caso de:

1 ÷ 3 333333….. / 10000….. = 0,333333…..

Para qualquer ponto estabelecido como margem de erro, será obtido um número menor que o valor exato de (1 ÷ 3). Desta forma, todas as aproximações feitas anteriormente são aproximações padrão de (1 ÷ 3).

Exemplos

Exemplo 1

1. Qual dos seguintes números é uma aproximação padrão de 0,0127

• 0,13
• 0,012; É uma aproximação padrão de 0,0127
• 0,01; É uma aproximação padrão de 0,0127
• 0,0128

Exemplo 2

1. Qual dos seguintes números é um excesso de aproximação de 23.435

• 24; é uma aproximação por excesso de 23.435
• 23,4
• 23,44; é uma aproximação por excesso de 23.435
• 23,5; é uma aproximação por excesso de 23.435

Exemplo 3

1. Defina os seguintes números usando uma aproximação padrão, com o limite de erro especificado.

• 547,2648…. Por milésimos, centésimos e dezenas.

Milésimos: Os milésimos correspondem aos 3 primeiros dígitos após a vírgula, onde após 999 vem a unidade. Seguimos para aproximadamente 547.264.

Centésimos: Denotados pelos 2 primeiros dígitos após a vírgula, os centésimos devem corresponder a 99 para atingir a unidade. Desta forma, ele se aproxima de 547,26 por padrão .

Dezenas: neste caso, o limite de erro é muito maior, porque o intervalo da aproximação é definido dentro dos números inteiros. Quando você aproxima, por padrão, em dez, obtém 540.

Exemplo 4

1. Defina os seguintes números usando uma aproximação de excesso, com o limite de erro especificado.

• 1204,27317 Para décimos, centenas e uns.

Décimos: Refere-se ao primeiro dígito após a vírgula, onde a unidade é composta após 0,9. Aproximar-se dos décimos em excesso resulta em 1204,3.

Centenas: novamente um limite de erro é observado, cujo intervalo está dentro dos números inteiros da figura. Aproximar as centenas por excesso resulta em 1300. Este número é consideravelmente diferente de 1204,27317. Por causa disso, as aproximações geralmente não são aplicadas a valores inteiros.

Unidades: Aproximando-se excessivamente da unidade, obtém-se 1205.

Exemplo 5

1. Uma costureira corta um pedaço de tecido de 135,3 cm para fazer uma bandeira de 7855 cm ². Quanto o outro lado medirá se você usar uma régua convencional que marca até milímetros.

Aproxime os resultados por excesso e defeito.

A área da bandeira é retangular e é definida por:

A = lado x lado

lado = A / lado

lado = 7855cm ² / 135,3cm

lado = 58,05617147 cm

Devido à apreciação da regra, podemos obter dados até milímetros, o que corresponde ao intervalo dos decimais em relação ao centímetro.

Portanto, 58 cm é uma aproximação padrão.

Enquanto 58.1 é uma aproximação em excesso.

Exemplo 6

1. Defina 9 valores que podem ser números exatos em cada uma das aproximações:

• 34.071 resultados de milésimos aproximados por padrão

34.07124 34.07108 34.07199

34,0719 34,07157 34,07135

34.0712 34.071001 34.07176

• 0,012 resultados de milésimos aproximados por padrão

0,01291 0,012099 0,01202

0,01233 0,01223 0,01255

0,01201 0,0121457 0,01297

• 23,9 resultados da aproximação de décimos por excesso

23,801 23,85555 23,81

23,89 23,8324 23,82

23.833 23,84 23,80004

• 58,37 é o resultado de aproximar centésimos por excesso

58.3605 58.36001 58.36065

58.3655 58.362 58.363

58,3623 58,361 58,3634

Exemplo 7

1. Aproxime cada número irracional de acordo com o limite de erro indicado:

• π = 3,141592654….

Milésimos por padrão π = 3,141

Milésimos por excesso π = 3,142

Centésimos por padrão π = 3,14

Centésimos em excesso π = 3,15

Décimos por padrão π = 3,1

Décimos por excesso π = 3,2

• e = 2,718281828…

Milésimos por padrão e = 2.718

Milésimos por excesso e = 2,719

Centésimos por padrão e = 2,71

Centésimos em excesso e = 2,72

Décimos por padrão e = 2,7

Décimos por excesso e = 2,8

• √2 = 1,414213562…

Milésimos por padrão √2 = 1,414

Milésimos por excesso √2 = 1,415

Centésimos por padrão √2 = 1,41

Centésimos em excesso √2 = 1,42

Décimos por padrão √2 = 1,4

Décimos por excesso √2 = 1,5

• 1 ÷ 3 = 0,33333333…..

Milésimos por padrão 1 ÷ 3 = 0,332

Milésimos em excesso 1 ÷ 3 = 0,334

Centésimos por padrão 1 ÷ 3 = 0,33

Centésimos em excesso 1 ÷ 3 = 0,34

Décimos por padrão 1 ÷ 3 = 0,3

Décimos por excesso 1 ÷ 3 = 0,4

Referências

1. Problemas em Análise Matemática. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universidade de Wroclaw. Polônia.
2. Introdução à Lógica e à Metodologia das Ciências Dedutivas. Alfred Tarski, New York Oxford. Imprensa da Universidade de Oxford.
3. The Arithmetic Teacher, Volume 29. National Council of Teachers of Mathematics, 1981. University of Michigan.
4. Aprendizagem e ensino da teoria dos números: Pesquisa em cognição e instrução / editado por Stephen R. Campbell e Rina Zazkis. Ablex publicando 88 Post Road West, Westport CT 06881.
5. Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. Rouen: IREM.