CHOQUES ELÁSTICOS: EM UMA DIMENSÃO, CASOS ESPECIAIS, EXERCÍCIOS - FISICA - 2025

As colisões elásticas ou colisões elásticas são interações breves, mas intensas entre objetos, nas quais tanto o momento quanto a energia cinética são conservados. Os acidentes são eventos muito frequentes na natureza: de partículas subatômicas a galáxias, a bolas de bilhar e carrinhos de choque em parques de diversões, são todos objetos capazes de colidir.

Durante uma colisão ou colisão, as forças de interação entre os objetos são muito fortes, muito mais do que aquelas que podem agir externamente. Desta forma, pode-se afirmar que, durante a colisão, as partículas formam um sistema isolado.

As colisões de bolas de bilhar podem ser consideradas elásticas. Fonte: Pixabay.

Neste caso, é verdade que:

O momento P _o antes da colisão é o mesmo que depois da colisão. Isso é verdadeiro para qualquer tipo de colisão, tanto elástica quanto inelástica.

Agora considere o seguinte: durante uma colisão, os objetos sofrem uma certa deformação. Quando o choque é elástico, os objetos voltam rapidamente à sua forma original.

Conservação de energia cinética

Normalmente, durante uma colisão, parte da energia dos objetos é gasta em calor, deformação, som e às vezes até na produção de luz. Portanto, a energia cinética do sistema após a colisão é menor do que a energia cinética original.

Quando a energia cinética K é conservada, então:

O que significa que as forças que atuam durante a colisão são conservadoras. Durante a colisão, a energia cinética é brevemente transformada em energia potencial e depois de volta em energia cinética. As respectivas energias cinéticas variam, mas a soma permanece constante.

Colisões perfeitamente elásticas são raras, embora as bolas de bilhar sejam uma boa aproximação, assim como as colisões que ocorrem entre moléculas de gás ideais.

Choques elásticos em uma dimensão

Vamos examinar uma colisão de duas partículas deste em uma única dimensão; isto é, as partículas interagentes se movem, digamos, ao longo do eixo x. Suponhamos que têm massas m ₁ e m ₂. As velocidades iniciais de cada um são u _{1 e} u _2, respectivamente. As velocidades finais são v ₁ ev ₂.

Podemos dispensar a notação vetorial, uma vez que o movimento é realizado ao longo do eixo x, porém os sinais (-) e (+) indicam a direção do movimento. À esquerda é negativo e à direita positivo, por convenção.

-Fórmula para colisões elásticas

Pela quantidade de movimento

Para energia cinética

Desde que as massas e velocidades iniciais sejam conhecidas, as equações podem ser reagrupadas para encontrar as velocidades finais.

O problema é que, em princípio, é necessário fazer um pouco de álgebra bastante tediosa, já que as equações da energia cinética contêm os quadrados das velocidades, o que torna o cálculo um pouco complicado. O ideal seria encontrar expressões que não os contenham.

A primeira é dispensar o fator ½ e reorganizar ambas as equações de forma que um sinal negativo apareça e as massas possam ser fatoradas:

Sendo expresso desta forma:

Simplificação para eliminar os quadrados das velocidades

Agora devemos fazer uso da notável soma do produto por sua diferença na segunda equação, com a qual obtemos uma expressão que não contém os quadrados, como originalmente desejado:

A próxima etapa é substituir a primeira equação pela segunda:

E como o termo m ₂ (v ₂ - u ₂) é repetido em ambos os lados da igualdade, o referido termo é cancelado e permanece assim:

Ou melhor ainda:

Velocidades finais v

Agora você tem duas equações lineares que são mais fáceis de trabalhar. Vamos colocá-los de volta um sob o outro:

Multiplicar a segunda equação por m ₁ e adicionar termo a termo é:

E já é possível limpar v ₂. Por exemplo:

Casos especiais em colisões elásticas

Agora que as equações estão disponíveis para as velocidades finais de ambas as partículas, é hora de analisar algumas situações especiais.

Duas massas idênticas

Nesse caso, m ₁ = m ₂ = meu:

As partículas simplesmente trocam suas velocidades após a colisão.

Duas massas idênticas, uma das quais estava inicialmente em repouso

Novamente m ₁ = m ₂ = me assumindo u ₁ = 0:

Após a colisão, a partícula que estava em repouso adquire a mesma velocidade da partícula que estava se movendo, e esta por sua vez para.

Duas massas diferentes, uma delas inicialmente em repouso

Neste caso, suponha que u ₁ = 0, mas as massas são diferentes:

E se m ₁ for muito maior do que m ₂ ?

Acontece que m ₁ ainda _está em repouso e m ₂ retorna com a mesma velocidade com que foi impactado.

Coeficiente de restituição ou regra de Huygens-Newton

Anteriormente, a seguinte relação entre as velocidades era derivada para dois objetos em colisão elástica: u ₁ - u ₂ = v ₂ - v ₁. Essas diferenças são as velocidades relativas antes e depois da colisão. Em geral, para uma colisão, é verdade que:

O conceito de velocidade relativa é melhor apreciado se o leitor imaginar que está em uma das partículas e, a partir dessa posição, observar a velocidade com que a outra partícula se move. A equação acima foi reescrita assim:

Exercícios resolvidos

- Resolvido o exercício 1

Uma bola de bilhar se move para a esquerda a 30 cm / s, colidindo frontalmente com outra bola idêntica que se move para a direita a 20 cm / s. As duas bolas têm a mesma massa e a colisão é perfeitamente elástica. Encontre a velocidade de cada bola após o impacto.

Solução

u ₁ = -30 cm / s

u ₂ = +20 cm / s

Este é o caso especial onde duas massas idênticas colidem elasticamente em uma dimensão, portanto as velocidades são trocadas.

v ₁ = +20 cm / s

v ₂ = -30 cm / s

- Exercício 2 resolvido

O coeficiente de restituição de uma bola quicando no solo é igual a 0,82. Se cair do repouso, que fração de sua altura original a bola alcançará depois de quicar uma vez? E depois de 3 rebotes?

Uma bola quica em uma superfície firme e perde altura a cada quique. Fonte: self made.

Solução

O solo pode ser o objeto 1 na equação do coeficiente de restituição. E fica sempre em repouso, para que:

Com esta velocidade, ele salta:

O sinal + indica que é uma velocidade ascendente. E de acordo com ele, a bola atinge uma altura máxima de:

Agora ele retorna ao solo novamente com uma velocidade de magnitude igual, mas com sinal oposto:

Isso atinge uma altura máxima de:

Volte para o solo com:

Saltos sucessivos

Cada vez que a bola quica e sobe, multiplique a velocidade novamente por 0,82:

Nesse ponto, h ₃ é cerca de 30% de h _o. Qual seria a altura até o 6º salto sem a necessidade de fazer cálculos detalhados como os anteriores?

Seria H ₆ = 0.82 ¹² H _O = 0.092h _ó ó apenas 9% de H _O.

-Resolvido exercício 3

Um bloco de 300 g está se movendo para o norte a 50 cm / se colide com um bloco de 200 g indo para o sul a 100 cm / s. Suponha que o choque seja perfeitamente elástico. Encontre as velocidades após o impacto.

Dados

m ₁ = 300 g; u ₁ = + 50 cm / s

m ₂ = 200 g; u ₂ = -100 cm / s

- Exercício 4 resolvido

Uma massa de m ₁ = 4 kg é liberada do ponto indicado na pista sem atrito até que colida com m ₂ = 10 kg em repouso. A que altura m ₁ sobe após a colisão?

Solução

Como não há atrito, a energia mecânica é conservada para encontrar a velocidade u ₁ com a qual m ₁ atinge m _2. Inicialmente a energia cinética é 0, pois m ₁ parte do repouso. Quando ele se move na superfície horizontal, ele não tem altura, então a energia potencial é 0.

Agora, a velocidade de m ₁ após a colisão é calculada:

O sinal negativo significa que foi devolvido. Com essa velocidade ele sobe e a energia mecânica é conservada novamente para encontrar h ', a altura a que ele consegue subir após a colisão:

Observe que ele não retorna ao ponto inicial a 8 m de altura. Não tem energia suficiente porque a massa m ₁ cedeu parte de sua energia cinética .

Referências

1. Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6 ^th. Ed Prentice Hall. 175-181
2. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fundamentals of Physics. 9 ^na Cengage Learning. 172-182
4. Tipler, P. (2006) Physics for Science and Technology. 5ª Ed. Volume 1. Editorial Reverté. 217-238
5. Tippens, P. 2011. Physics: Concepts and Applications. 7ª Edição. MacGraw Hill. 185-195