GEOMETRIA ANALÍTICA: O QUE ESTUDA, HISTÓRIA, APLICAÇÕES - MATEMÁTICAS - 2025

A geometria analítica estuda linhas e formas geométricas aplicando técnicas básicas de álgebra e análise matemática em um determinado sistema de coordenadas.

Consequentemente, a geometria analítica é um ramo da matemática que analisa detalhadamente todos os dados das figuras geométricas, ou seja, o volume, os ângulos, a área, os pontos de intersecção, suas distâncias, entre outros.

A característica fundamental da geometria analítica é que ela permite a representação de figuras geométricas por meio de fórmulas.

Por exemplo, as circunferências são representadas por equações polinomiais de segundo grau, enquanto as linhas são expressas por equações polinomiais de primeiro grau.

A geometria analítica surge no século XVII devido à necessidade de dar respostas a problemas que até agora não tinham solução. Seus principais representantes foram René Descartes e Pierre de Fermat.

Hoje, muitos autores apontam para ela como uma criação revolucionária na história da matemática, uma vez que representa o início da matemática moderna.

História da geometria analítica

O termo geometria analítica surgiu na França no século XVII devido à necessidade de fornecer respostas a problemas que não podiam ser resolvidos usando álgebra e geometria isoladamente, mas a solução estava no uso combinado de ambas.

Principais representantes da geometria analítica

Durante o século XVII dois franceses por acaso na vida realizaram pesquisas que de uma forma ou de outra culminaram na criação da geometria analítica. Essas pessoas foram Pierre de Fermat e René Descartes.

Atualmente, considera-se que o criador da geometria analítica foi René Descartes. Isso porque ele publicou seu livro antes de Fermat e também em profundidade com Descartes sobre o tema da geometria analítica.

No entanto, tanto Fermat quanto Descartes descobriram que linhas e figuras geométricas podem ser expressas por equações e as equações podem ser expressas como linhas ou figuras geométricas.

Pelas descobertas feitas pelos dois, pode-se dizer que ambos são os criadores da geometria analítica.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat foi um matemático francês que nasceu em 1601 e morreu em 1665. Durante a sua vida estudou a geometria de Euclides, Apolônio e Pappus, a fim de resolver os problemas de medição existentes na época.

Mais tarde, esses estudos desencadearam a criação da geometria. Elas acabaram sendo expressas em seu livro "Introdução a lugares planos e sólidos" (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), publicado 14 anos após sua morte, em 1679.

Pierre de Fermat aplicou geometria analítica aos teoremas de Apolônio sobre lugares geométricos em 1623. Ele também foi o primeiro a aplicar a geometria analítica ao espaço tridimensional.

Rene Descartes

Também conhecido como Cartésio, ele foi um matemático, físico e filósofo que nasceu em 31 de março de 1596 na França e morreu em 1650.

René Descartes publicou em 1637 seu livro "Discurso sobre o método de conduzir a razão corretamente e buscar a verdade na ciência" mais conhecido como "O Método" e a partir daí o termo geometria analítica foi introduzido no mundo. Um de seus apêndices era "Geometria".

Elementos fundamentais da geometria analítica

A geometria analítica é composta dos seguintes elementos:

O sistema de coordenadas cartesianas

Este sistema tem o nome de René Descartes.

Não foi ele quem nomeou, nem quem completou o sistema de coordenadas cartesianas, mas foi ele quem falou de coordenadas com números positivos que permitem que futuros estudiosos o completem.

Este sistema é composto do sistema de coordenadas retangulares e do sistema de coordenadas polares.

Sistemas de coordenadas retangulares

Os sistemas de coordenadas retangulares são chamados de plano formado pelo traçado de duas retas numéricas perpendiculares entre si, onde o ponto de corte coincide com o zero comum.

Então, esse sistema seria composto de uma linha horizontal e uma linha vertical.

A linha horizontal é o eixo X ou o eixo de abcissas. A linha vertical seria o eixo Y ou o eixo das ordenadas.

Sistema de coordenadas polares

Este sistema se encarrega de verificar a posição relativa de um ponto em relação a uma linha fixa e a um ponto fixo da linha.

Equação cartesiana da linha

Esta equação é obtida a partir de uma reta quando se conhecem dois pontos por onde ela passa.

Linha reta

É aquele que não se desvia e, portanto, não tem curvas nem ângulos.

Cônicas

São as curvas definidas pelas retas que passam por um ponto fixo e pelos pontos de uma curva.

A elipse, circunferência, parábola e hipérbole são curvas cônicas. Cada um deles é descrito abaixo.

Circunferência

A circunferência é chamada de curva plana fechada que é formada por todos os pontos do plano que são equidistantes de um ponto interno, ou seja, do centro da circunferência.

Parábola

É a localização dos pontos no plano que são equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma linha fixa (diretriz). Portanto, a diretriz e o foco são o que definem a parábola.

A parábola pode ser obtida como um corte de uma superfície cônica de revolução através de um plano paralelo a uma geratriz.

Elipse

A curva fechada que descreve um ponto ao se mover em um plano é chamada de elipse, de forma que a soma de suas distâncias a dois (2) pontos fixos (chamados de focos) é constante.

Hipérbole

A hipérbole é chamada de curva definida como o lugar geométrico dos pontos no plano, para os quais a diferença entre as distâncias de dois pontos fixos (focos) é constante.

A hipérbole tem um eixo de simetria que passa pelos focos, denominado eixo focal. Possui também outra, que é a bissetriz do segmento que possui os pontos fixos em suas extremidades.

Formulários

Existem muitas aplicações da geometria analítica em diferentes áreas da vida diária. Por exemplo, podemos encontrar a parábola, um dos elementos fundamentais da geometria analítica, em muitas das ferramentas que são usadas diariamente hoje. Algumas dessas ferramentas são as seguintes:

Antena parabólica

As antenas parabólicas possuem um refletor gerado a partir de uma parábola que gira sobre o eixo da referida antena. A superfície gerada como resultado dessa ação é chamada de parabolóide.

Essa capacidade do parabolóide é chamada de propriedade ótica ou propriedade de reflexão de uma parábola, e graças a isso é possível que o parabolóide reflita as ondas eletromagnéticas que recebe do mecanismo de alimentação que constitui a antena.

Pontes suspensas

Quando uma corda suporta um peso homogêneo, mas, ao mesmo tempo, consideravelmente maior que o peso da própria corda, o resultado será uma parábola.

Este princípio é fundamental para a construção de pontes suspensas, que geralmente são sustentadas por largas estruturas de cabos de aço.

O princípio da parábola em pontes suspensas tem sido utilizado em estruturas como a Golden Gate Bridge, localizada na cidade de São Francisco, nos Estados Unidos, ou a Grande Ponte do Estreito de Akashi, que fica no Japão e liga a Ilha de Awaji com Honshū, a principal ilha daquele país.

Análise astronômica

A geometria analítica também teve usos muito específicos e decisivos no campo da astronomia. Nesse caso, o elemento da geometria analítica que ocupa o centro do palco é a elipse; A lei do movimento dos planetas de Johannes Kepler reflete isso.

Kepler, um matemático e astrônomo alemão, determinou que a elipse era a curva que melhor se ajustava ao movimento de Marte; Ele já havia testado o modelo circular proposto por Copérnico, mas em meio aos experimentos deduziu que a elipse servia para desenhar uma órbita perfeitamente semelhante à do planeta que estava estudando.

Graças à elipse, Kepler pôde afirmar que os planetas se moviam em órbitas elípticas; esta consideração foi a afirmação da chamada segunda lei de Kepler.

A partir dessa descoberta, posteriormente enriquecida pelo físico e matemático inglês Isaac Newton, foi possível estudar os movimentos orbitacionais dos planetas, e aumentar o conhecimento que se tinha sobre o universo do qual fazemos parte.

Telescópio Cassegrain

O telescópio Cassegrain recebeu o nome de seu inventor, o físico francês Laurent Cassegrain. Neste telescópio, os princípios da geometria analítica são usados ​​porque ele é composto principalmente por dois espelhos: o primeiro é côncavo e parabólico, e o segundo é caracterizado por ser convexo e hiperbólico.

A localização e a natureza desses espelhos permitem que o defeito conhecido como aberração esférica não ocorra; Esse defeito impede que os raios de luz sejam refletidos no foco de uma determinada lente.

O telescópio Cassegrain é muito útil para observação planetária, além de ser bastante versátil e fácil de usar.

Referências

1. Geometria analítica. Obtido em 20 de outubro de 2017, em britannica.com
2. Geometria analítica. Obtido em 20 de outubro de 2017, em encyclopediafmath.org
3. Geometria analítica. Obtido em 20 de outubro de 2017, em khancademy.org
4. Geometria analítica. Obtido em 20 de outubro de 2017 em wikipedia.org
5. Geometria analítica. Obtido em 20 de outubro de 2017, em whitman.edu
6. Geometria analítica. Obtido em 20 de outubro de 2017, em stewartcalculus.com
7. Geometria analítica plana obtida em 20 de outubro de 2017