SÉRIE DE PODER: EXEMPLOS E EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2025

Uma série de potências consiste em uma soma de termos na forma de potências da variável x, ou mais geralmente, de xc, onde c é um número real constante. Em notação de soma, uma série de poderes é expressa da seguinte forma:

Onde os coeficientes a _o, a ₁, a ₂… são números reais e a série começa em n = 0.

Figura 1. Definição de uma série de potências. Fonte: F. Zapata.

Esta série é centrada no valor c que é constante, mas você pode escolher que c seja igual a 0, caso em que a série de potências simplifica para:

A série começa com a _ou (xc) ⁰ e a _ou x ⁰ respectivamente. Mas sabemos que:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Portanto a _o (xc) ⁰ = a _ou x ⁰ = a _o (termo independente)

A vantagem das séries de potência é que as funções podem ser expressas com elas e isso tem muitas vantagens, especialmente se você deseja trabalhar com uma função complicada.

Quando for esse o caso, em vez de usar diretamente a função, use sua expansão em série de potência, que pode ser mais fácil de derivar, integrar ou trabalhar numericamente.

Claro que tudo está condicionado à convergência das séries. Uma série converge quando a adição de um certo grande número de termos dá um valor fixo. E se adicionarmos mais termos ainda, continuamos obtendo esse valor.

Funções como Power Series

Como exemplo de uma função expressa como uma série de potências, vamos tomar f (x) = e ^x.

Esta função pode ser expressa em termos de uma série de poderes da seguinte forma:

e ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /3!) + (x ⁴ /4!) + (x ⁵ / os 5!) +…

Onde! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… e leva 0! = 1.

Vamos verificar com a ajuda de uma calculadora, se de fato a série coincide com a função dada explicitamente. Por exemplo, vamos começar fazendo x = 0.

Sabemos que e ⁰ = 1. Vamos ver o que a série faz:

e ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ / os 5!) +… = 1

E agora vamos tentar x = 1. Uma calculadora retorna que e ¹ = 2,71828, e então vamos comparar com a série:

e ^uma ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ / os 5!) +… = 2 + 0.5000 + 0.1667 + 0.0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167

Com apenas 5 termos, já temos uma correspondência exata em e ≈ 2,71. Nossa série ainda falta um pouco, mas à medida que mais termos são adicionados, a série certamente converge para o valor exato de e. A representação é exata quando n → ∞.

Se a análise anterior for repetida para n = 2, resultados muito semelhantes serão obtidos.

Desta forma, temos certeza de que a função exponencial f (x) = e ^x pode ser representada por esta série de potências:

Figura 2. Nesta animação, podemos ver como a série de potências se aproxima da função exponencial conforme mais termos são tomados. Fonte: Wikimedia Commons.

Série geométrica de poderes

A função f (x) = e ^x não é a única função que suporta uma representação de série de potências. Por exemplo, a função f (x) = 1/1 - x se parece muito com a conhecida série geométrica convergente:

Basta fazer a = 1 e r = x para obter uma série adequada a esta função, que está centrada em c = 0:

Porém, sabe-se que esta série é convergente para │r│ <1, portanto a representação é válida apenas no intervalo (-1,1), embora a função seja válida para todo x, exceto x = 1.

Quando você quiser definir esta função em outro intervalo, você simplesmente se concentra em um valor adequado e pronto.

Como encontrar a expansão em série de poderes de uma função

Qualquer função pode ser desenvolvida em uma série de potências centrada em c, desde que tenha derivadas de todas as ordens em x = c. O procedimento faz uso do seguinte teorema, denominado teorema de Taylor:

Seja f (x) uma função com derivadas de ordem n, denotadas como f ⁽ⁿ⁾, que admite uma expansão em série de potências no intervalo I. Seu desenvolvimento em série de Taylor é:

De maneira que:

Onde R _n, que é o enésimo termo da série, é chamado de resto:

Quando c = 0, a série é chamada de série Maclaurin.

Esta série dada aqui é idêntica à série dada no início, só que agora temos uma maneira de encontrar explicitamente os coeficientes de cada termo, dados por:

No entanto, devemos garantir que a série converge para a função a ser representada. Acontece que nem toda série de Taylor converge necessariamente para o f (x) que se tinha em mente ao calcular os coeficientes em _n.

Isso ocorre porque talvez as derivadas da função, avaliadas em x = c, coincidam com o mesmo valor das derivadas de outra, também em x = c. Nesse caso, os coeficientes seriam os mesmos, mas o desenvolvimento seria ambíguo, pois não se sabe ao certo a qual função corresponde.

Felizmente, existe uma maneira de saber:

Critério de convergência

Para evitar ambigüidade, se R _n → 0 como n → ∞ para todo x no intervalo I, a série converge para f (x).

Exercício

- Exercício resolvido 1

Encontre a série de potências geométricas para a função f (x) = 1/2 - x centrada em c = 0.

Solução

A função dada deve ser expressa de forma a coincidir o mais possível com 1 / 1- x, cuja série é conhecida. Portanto, vamos reescrever o numerador e o denominador, sem alterar a expressão original:

1/2 - x = (1/2) /

Já que ½ é constante, ele sai da soma e é escrito em termos da nova variável x / 2:

Note que x = 2 não pertence ao domínio da função, e de acordo com o critério de convergência dado na seção Série Geométrica de Potências, a expansão é válida para │x / 2│ <1 ou equivalentemente -2 <x <2.

- Exercício resolvido 2

Encontre os primeiros 5 termos da expansão da série de Maclaurin da função f (x) = sin x.

Solução

Passo 1

Em primeiro lugar estão os derivados:

-Derivada de ordem 0: é a mesma função f (x) = sin x

-Primeira derivada: (sin x) ´ = cos x

-Segunda derivada: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Terceira derivada: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Quarta derivada: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Passo 2

Então, cada derivada é avaliada em x = c, como é uma expansão de Maclaurin, c = 0:

sen 0 = 0; cos 0 = 1; - sen 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

etapa 3

Os coeficientes a _{n são construídos};

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3!; a ₄ = 0/4! = 0

Passo 4

Finalmente, a série é montada de acordo com:

sen x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0.x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

O leitor precisa de mais termos? Quanto mais, a série está mais perto da função.

Observe que há um padrão nos coeficientes, o próximo termo diferente de zero é ₅ e todos aqueles com índice ímpar também são diferentes de 0, alternando os sinais, de modo que:

sen x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Resta como exercício verificar se ela converge, o critério do quociente pode ser utilizado para a convergência das séries.

Referências

1. Fundação CK-12. Power Series: representação de funções e operações. Recuperado de: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Integral Calculus. Universidade Nacional do Litoral.
3. Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
4. Textos Livres de Matemática. Série de potências. Recuperado de: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Série de potências. Recuperado de: es.wikipedia.org.