LINHAS OBLÍQUAS: CARACTERÍSTICAS, EQUAÇÕES E EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2025

As linhas oblíquas são aquelas que são inclinadas, seja em relação a uma superfície plana ou outra linha que indica um endereço específico. Como exemplo, considere as três linhas desenhadas em um plano que aparecem na figura a seguir.

Conhecemos suas respectivas posições relativas porque as comparamos a uma linha de referência, que geralmente é o eixo x denotando a horizontal.

Figura 1. Linhas verticais, horizontais e oblíquas no mesmo plano. Fonte: F. Zapata.

Desta forma, escolhendo a horizontal como referência, a linha da esquerda é vertical, a do centro é horizontal e a da direita é oblíqua, pois está inclinada em relação às linhas de referência diárias.

Agora, as linhas que estão no mesmo plano, como a superfície do papel ou a tela, ocupam posições diferentes entre si, dependendo se se cruzam ou não. No primeiro caso, são linhas secantes, enquanto, no segundo, são paralelas.

Por outro lado, as linhas secantes podem ser linhas oblíquas ou linhas perpendiculares. Em ambos os casos, as inclinações das retas são diferentes, mas as retas oblíquas formam entre si ângulos α e β, diferentes de 90º, enquanto os ângulos determinados pelas retas perpendiculares são sempre 90º.

A figura a seguir resume essas definições:

Figura 2. Posições relativas entre as linhas: paralelas, oblíquas e perpendiculares diferem no ângulo que formam entre si. Fonte: F. Zapata.

Equações

Para saber as posições relativas das linhas no plano, é necessário saber o ângulo entre elas. Observe que as linhas são:

Paralelo: se eles têm a mesma inclinação (mesma direção) e nunca se cruzam, então seus pontos são equidistantes.

Coincidentes: quando todos os seus pontos coincidem e, portanto, possuem a mesma inclinação, mas a distância entre seus pontos é zero.

Secadores: se suas inclinações são diferentes, a distância entre seus pontos varia e a interseção é um único ponto.

Portanto, uma maneira de saber se duas retas no plano são secantes ou paralelas é por meio de sua inclinação. Os critérios de paralelismo e perpendicularidade das linhas são os seguintes:

Se, conhecendo as inclinações de duas retas no plano, nenhum dos critérios acima for atendido, concluímos que as retas são oblíquas. Conhecendo dois pontos em uma linha, a inclinação é calculada imediatamente, como veremos na próxima seção.

Você pode descobrir se duas linhas são secantes ou paralelas ao encontrar sua intersecção, resolvendo o sistema de equações que elas formam: se houver uma solução, elas são secantes, se não houver solução, elas são paralelas, mas se as soluções forem infinitas, as linhas serão coincidentes.

No entanto, este critério não nos informa sobre o ângulo entre essas linhas, mesmo que se cruzem.

Para saber o ângulo entre as linhas, precisamos de dois vetores u e v que pertencem a cada um deles. Assim é possível saber o ângulo que eles formam por meio do produto escalar dos vetores, definidos desta forma:

u • v = uvcos α

Equação da reta no plano

Uma linha no plano cartesiano pode ser representada de várias maneiras, como:

- Forma inclinação-interceptação: se m é a inclinação da reta eb é a interseção da reta com o eixo vertical, a equação da reta é y = mx + b.

- Equação geral da reta: Ax + By + C = 0, onde m = A / B é a inclinação.

No plano cartesiano, as linhas verticais e horizontais são casos particulares da equação da linha.

- Linhas verticais: x = a

- Linhas horizontais: y = k

Figura 3. À esquerda, a linha vertical x = 4 e a linha horizontal y = 6. À direita, um exemplo de linha oblíqua. Fonte: F. Zapata.

Nos exemplos da figura 3, a linha vertical vermelha tem a equação x = 4, enquanto a linha paralela ao eixo x (azul) tem a equação y = 6. Quanto à linha da direita, vemos que ela é oblíqua e para encontrar sua equação utilizamos os pontos destacados na figura: (0,2) e (4,0) desta forma:

O corte desta linha com o eixo vertical é y = 2, como pode ser visto no gráfico. Com esta informação:

Determinar o ângulo de inclinação em relação ao eixo x é fácil. Eu sinto isso:

Portanto, o ângulo positivo do eixo x à linha é: 180º - 26,6º = 153,4º

Exemplos de linhas oblíquas

Figura 4. Exemplos de linhas oblíquas. Fonte: esgrimistas Ian Patterson. Torre inclinada de Pisa. Pixabay.

Linhas oblíquas aparecem em muitos lugares, é uma questão de prestar atenção para encontrá-las na arquitetura, esportes, fiação elétrica, canos e muitos mais lugares. Na natureza as linhas oblíquas também estão presentes, como veremos a seguir:

Raios de luz

A luz solar viaja em linha reta, mas a forma redonda da Terra afeta como a luz solar atinge a superfície.

Na imagem abaixo podemos ver claramente que os raios solares atingem perpendicularmente nas regiões tropicais, mas ao invés atingem a superfície obliquamente nas regiões temperadas e nos pólos.

É por isso que os raios do sol viajam por uma distância maior na atmosfera e também o calor se espalha por uma superfície maior (veja a figura). O resultado é que as áreas próximas aos pólos são mais frias.

Figura 5. Os raios solares incidem obliquamente nas zonas temperadas e nos pólos, mas são mais ou menos perpendiculares nos trópicos. Fonte: Wikimedia Commons.

Linhas que não estão no mesmo plano

Quando duas linhas não estão no mesmo plano, elas ainda podem ser oblíquas ou tortas, como também são conhecidas. Nesse caso, seus vetores diretores não são paralelos, mas como não pertencem ao mesmo plano, essas retas não se cruzam.

Por exemplo, as linhas da figura 6 à direita estão claramente em planos diferentes. Se você olhar para eles de cima, verá que eles se cruzam, mas não têm um ponto comum. À direita, vemos as rodas da bicicleta, cujos raios parecem cruzar quando vistos de frente.

Figura 6. Linhas oblíquas pertencentes a diferentes planos. Fonte: esquerda F. Zapata, direita Pixabay.

Referências

1. Geometria. Vetor de diretor de uma linha. Recuperado de: juanbragado.es.
2. Larson, R. 2006. Calculus with Analytical Geometry. 8º. Edição. McGraw Hill.
3. A matemática é um jogo. Linhas e ângulos. Recuperado de: juntadeandalucia.es.
4. Linhas retas que se cruzam. Recuperado de: profesoraltuna.com.
5. Villena, M. Analytical Geometry in R3. Recuperado de: dspace.espol.edu.ec.