REGRA DE SIMPSON: FÓRMULA, PROVA, EXEMPLOS, EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2025

A regra de Simpson é um método para calcular, aproximadamente, integrais definidas. Baseia-se na divisão do intervalo de integração em um número par de subintervalos igualmente espaçados.

Os valores extremos de dois subintervalos consecutivos definem três pontos, pelos quais uma parábola, cuja equação é um polinômio de segundo grau, se encaixa.

Figura 1. No método de Simpson, o intervalo de integração é subdividido em um número par de intervalos de largura igual. A função é aproximada por uma parábola a cada 2 subintervalos e a integral é aproximada pela soma da área sob as parábolas. Fonte: upv.es.

Então a área sob a curva da função nos dois intervalos consecutivos é aproximada pela área do polinômio de interpolação. Somando a contribuição à área sob a parábola de todos os subintervalos sucessivos, temos o valor aproximado da integral.

Por outro lado, como a integral de uma parábola pode ser calculada algebricamente com exatidão, é possível encontrar uma fórmula analítica para o valor aproximado da integral definida. É conhecida como fórmula de Simpson.

O erro do resultado aproximado assim obtido diminui à medida que o número de subdivisões n é maior (onde n é um número par).

Será dada a seguir uma expressão que permite estimar o limite superior do erro da aproximação da integral I, quando uma partição de n subintervalos regulares do intervalo total tiver sido feita.

Fórmula

O intervalo de integração é subdividido em n subintervalos com n sendo um número inteiro par. A largura de cada subdivisão será:

h = (b - a) / n

Desta forma, a partição é feita ao longo do intervalo:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}

Onde X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

A fórmula que permite aproximar a integral definida I da função contínua, e de preferência suave, no intervalo é:

Demonstração

Para obter a fórmula de Simpson, em cada subintervalo a função f (X) é aproximada por um polinômio de segundo grau p (X) (parábola) que passa pelos três pontos:; e

Em seguida, é calculada a integral do polinômio p (x) no qual ele se aproxima da integral da função f (X) nesse intervalo.

Figura 2. Gráfico para demonstração da fórmula de Simpson. Fonte: F. Zapata.

Coeficientes do polinômio de interpolação

A equação da parábola p (X) tem a forma geral: p (X) = AX ² + BX + C. Conforme a parábola passa pelos pontos Q indicados em vermelho (veja a figura), então os coeficientes A, B, C são determinados a partir do seguinte sistema de equações:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Pode-se observar que o coeficiente C é determinado. Para determinar o coeficiente A, adicionamos a primeira e a terceira equações obtendo:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Em seguida, o valor de C é substituído e A é limpo, deixando:

A = / (2 h ²)

Para determinar o coeficiente B, a terceira equação é subtraída da primeira e B é resolvida, obtendo:

B = = 2 h.

Em resumo, o polinômio de segundo grau p (X) que passa pelos pontos Qi, Qi + 1 e Qi + 2 tem coeficientes:

A = / (2 h ²)

B = = 2 h

C = f (Xi + 1)

Cálculo da integral aproximada em

Cálculo aproximado do integral em

Como já mencionado, uma partição {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} é feita no intervalo de integração total com a etapa h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, onde n é um número par.

Erro de aproximação

Observe que o erro diminui com a quarta potência do número de subdivisões no intervalo. Por exemplo, se você passar de n subdivisões para 2n, o erro diminui por um fator de 1/16.

O limite superior do erro obtido pela aproximação de Simpson pode ser obtido a partir desta mesma fórmula, substituindo a quarta derivada pelo valor absoluto máximo da quarta derivada no intervalo.

Exemplos trabalhados

- Exemplo 1

Considere a função f (X) = 1 / (1 + X ²).

Encontre a integral definida da função f (X) no intervalo usando o método de Simpson com duas subdivisões (n = 2).

Solução

Tomamos n = 2. Os limites de integração são a = -1 e b = -2, então a partição se parece com isto:

X0 = -1; X1 = 0 e X2 = +1.

Portanto, a fórmula de Simpson assume a seguinte forma:

Figura 3. Exemplo de integração numérica pela regra de Simpson usando software. Fonte: F. Zapata.

Referências

1. Casteleiro, JM 2002. Cálculo Abrangente (Edição Ilustrada). Madrid: Editorial ESIC.
2. UPV. Método de Simpson. Universidade politécnica de Valência. Recuperado de: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Calculus Nona Edição. Prentice Hall.
4. Wikipedia. Regra de Simpson. Recuperado de: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Interpolação polinomial de Lagrange. Recuperado de: es.wikipedia.com