REDUÇÃO DE TERMOS SEMELHANTES (COM EXERCÍCIOS RESOLVIDOS) - MATEMÁTICAS - 2025

A redução de tais termos é um método usado para simplificar as expressões algébricas. Em uma expressão algébrica, termos semelhantes são aqueles que têm a mesma variável; ou seja, eles têm as mesmas incógnitas representadas por uma letra e esses têm os mesmos expoentes.

Em alguns casos, os polinômios são extensos e, para chegar a uma solução, deve-se tentar reduzir a expressão; Isso é possível quando há termos semelhantes, que podem ser combinados pela aplicação de operações e propriedades algébricas, como adição, subtração, multiplicação e divisão.

Explicação

Termos semelhantes são compostos das mesmas variáveis ​​com os mesmos expoentes e, em alguns casos, estes são diferenciados apenas por seus coeficientes numéricos.

Termos semelhantes também são considerados aqueles que não possuem variáveis; ou seja, os termos que têm apenas constantes. Então, por exemplo, os seguintes são termos semelhantes:

- 6x ² - 3x ². Ambos os termos têm a mesma variável x ².

- 4a ² b ³ + 2a ² b ³. Ambos os termos têm as mesmas variáveis ​​a ² b ³.

- 7 - 6. Os termos são constantes.

Esses termos que têm as mesmas variáveis, mas com expoentes diferentes são chamados de termos diferentes, como:

- 9a ² b + 5ab. As variáveis ​​têm expoentes diferentes.

- 5x + y. As variáveis ​​são diferentes.

- b - 8. Um termo tem uma variável, o outro é uma constante.

Identificando os termos semelhantes que formam um polinômio, estes podem ser reduzidos a um, combinando todos aqueles que possuem as mesmas variáveis ​​com os mesmos expoentes. Desta forma, a expressão é simplificada reduzindo o número de termos que a compõem e o cálculo de sua solução é facilitado.

Como fazer uma redução de termos semelhantes?

A redução de termos semelhantes é feita aplicando-se a propriedade associativa de adição e a propriedade distributiva do produto. Usando o seguinte procedimento, uma redução de prazo pode ser feita:

- Primeiro, os termos semelhantes são agrupados.

- Os coeficientes (os números que acompanham as variáveis) dos termos semelhantes são somados ou subtraídos, e as propriedades associativas, comutativas ou distributivas são aplicadas, conforme o caso.

- Em seguida, são escritos os novos termos obtidos, colocando-se à frente deles o sinal que resultou da operação.

Exemplo

Reduza os termos da seguinte expressão: 10x + 3y + 4x + 5y.

Solução

Primeiro, os termos são ordenados para agrupar aqueles que são semelhantes, aplicando a propriedade comutativa:

10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y.

Em seguida, a propriedade distributiva é aplicada e os coeficientes que acompanham as variáveis ​​são adicionados para obter a redução dos termos:

10x + 4x + 3y + 5y

= (10 + 4) x + (3 + 5) y

= 14x + 8y.

Para reduzir termos semelhantes, é importante levar em consideração os sinais dos coeficientes que acompanham a variável. Existem três casos possíveis:

Redução de termos semelhantes com sinais de igual

Nesse caso, os coeficientes são somados e o sinal dos termos é colocado na frente do resultado. Portanto, se forem positivos, os termos resultantes serão positivos; caso os termos sejam negativos, o resultado terá o sinal (-) acompanhado da variável. Por exemplo:

a) 22ab ² + 12ab ² = 34 ab ².

b) -18x ³ - 9x ³ - 6 = -27x ³ - 6.

Redução de termos semelhantes c

Nesse caso, os coeficientes são subtraídos e o sinal do maior coeficiente é colocado na frente do resultado. Por exemplo:

a) 15x ² anos - 4x ² anos + 6x ² anos - 11x ² anos

= (15x ² y + 6x ² y) + (- 4x ² y - 11x ² y)

= 21x ² y + (-15x ² y)

= 21x ² y - 15x ² y

= 6x ² e.

b) -5a ³ b + 3 a ³ b - 4a ³ b + a ³ b

= (3 a ³ b + a ³ b) + (-5a ³ b - 4a ³ b)

= 4a ³ b - 9a ³ b

= -5 a ³ b.

Assim, para reduzir termos semelhantes que possuem sinais diferentes, um único termo aditivo é formado com todos aqueles que possuem sinal positivo (+), os coeficientes são somados e o resultado é acompanhado pelas variáveis.

Da mesma forma, forma-se um termo subtrativo, com todos os termos que apresentam sinal negativo (-), somam-se os coeficientes e o resultado é acompanhado pelas variáveis.

Por fim, as somas dos dois termos formados são subtraídas e o sinal do maior é colocado no resultado.

Redução de termos semelhantes nas operações

A redução de termos semelhantes é uma operação de álgebra, que pode ser aplicada em adição, subtração, multiplicação e divisão algébrica.

Em somas

Quando você tem vários polinômios com termos semelhantes, para reduzi-los, os termos de cada polinômio são ordenados mantendo seus sinais, então eles são escritos um após o outro e os termos semelhantes são reduzidos. Por exemplo, temos os seguintes polinômios:

3x - 4xy + 7x ² e + 5xy ².

- 6x ² y - 2xy + 9 xy ² - 8x.

Em subtração

Para subtrair um polinômio de outro, o minuendo é escrito e então o subtraendo com seus sinais mudados, e então a redução dos termos semelhantes é feita. Por exemplo:

5a ³ - 3ab ² + 3b ² c

6ab ² + 2a ³ - 8b ² c

Assim, os polinômios são resumidos em 3a ³ - 9ab ² + 11b ² c.

Em multiplicações

Em um produto de polinômios, os termos que compõem o multiplicando são multiplicados por cada termo que compõe o multiplicador, considerando que os sinais da multiplicação permanecem os mesmos se forem positivos.

Eles só serão alterados quando multiplicados por um termo negativo; ou seja, quando dois termos do mesmo sinal são multiplicados, o resultado será positivo (+), e quando eles têm sinais diferentes, o resultado será negativo (-).

Por exemplo:

a) (a + b) _* (a + b)

= a ² + ab + ab + b ²

= a ² + 2ab + b ².

b) (a + b) _* (a - b)

= a ² - ab + ab - b ²

= a ² - b ².

c) (a - b) _* (a - b)

= a ² - ab - ab + b ²

= a ² - 2ab + b ².

Nas divisões

Quando você deseja reduzir dois polinômios por meio de uma divisão, você deve encontrar um terceiro polinômio que, quando multiplicado pelo segundo (divisor), resulta no primeiro polinômio (dividendo).

Para isso, os termos do dividendo e do divisor devem ser ordenados, da esquerda para a direita, para que as variáveis ​​em ambos fiquem na mesma ordem.

Em seguida, é realizada a divisão, partindo do primeiro termo à esquerda do dividendo pelo primeiro termo à esquerda do divisor, sempre levando em consideração os sinais de cada termo.

Por exemplo, reduza o polinômio: 10x ⁴ - 48x ³ y + 51x ² e ² + 4xy ³ - 15y ⁴ dividindo-o pelo polinômio: -5x ² + 4xy + 3y ².

O polinômio resultante é -2x ² + 8xy - 5y ².

Exercícios resolvidos

Primeiro exercício

Reduza os termos da expressão algébrica fornecida:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab - 9 + 4a ² - 13 ab.

Solução

A propriedade comutativa de adição é aplicada, agrupando os termos que possuem as mesmas variáveis:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15a ² + 6a ² + 4a ²) + (- 8ab - 6ab) + (9 - 13).

Em seguida, a propriedade distributiva da multiplicação é aplicada:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15 + 6 + 4) a ² + (- 8 - 6) ab + (9 - 13).

Finalmente, eles são simplificados adicionando e subtraindo os coeficientes de cada termo:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= 25a ² - 14ab - 4.

Segundo exercício

Simplifique o produto dos seguintes polinômios:

(8x ³ + 7xy ²) _* (8x ³ - 7 xy ²).

Solução

Cada termo do primeiro polinômio é multiplicado pelo segundo, levando em consideração que os sinais dos termos são diferentes; portanto, o resultado de sua multiplicação será negativo, assim como as leis dos expoentes devem ser aplicadas.

(8x ³ + 7xy ²) _* (8x ³ - 7xy ²)

= 64 x ⁶ - 56 x ³ _* xy ² + 56 x ³ _* xy ² - 49 x ² y ⁴

= 64 x ⁶ - 49 x ² y ⁴.

Referências

1. Angel, AR (2007). Álgebra elementar. Pearson Education,.
2. Baldor, A. (1941). Álgebra. Havana: cultura.
3. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Álgebra elementar e intermediária: uma abordagem combinada. Flórida: Cengage Learning.
4. Smith, SA (2000). Álgebra. Pearson Education.
5. Vigil, C. (2015). Álgebra e suas aplicações.