CONSTANTE DE BOLTZMANN: HISTÓRIA, EQUAÇÕES, CÁLCULO, EXERCÍCIOS - FISICA - 2024

A constante de Boltzmann é o valor que relaciona a energia cinética média de um sistema termodinâmico ou de um objeto com a temperatura absoluta do mesmo. Embora sejam frequentemente confundidos, temperatura e energia não são o mesmo conceito.

A temperatura é uma medida de energia, mas não a energia em si. Com a constante de Boltzmann, eles estão ligados entre si da seguinte maneira:

A lápide de Boltzmann em Viena. Fonte: Daderot na Wikipedia em inglês

Esta equação é válida para uma molécula de gás monatômica ideal de massa m, onde E _c é sua energia cinética dada em Joules, k _B é a constante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta em Kelvin.

Dessa forma, quando a temperatura aumenta, a energia cinética média por molécula de substância também aumenta, como é esperado. E o contrário acontece quando a temperatura diminui, podendo chegar ao ponto em que, se todo o movimento parar, atinge-se a temperatura mais baixa possível ou zero absoluto.

Ao falar sobre a energia cinética média, é necessário lembrar que a energia cinética está associada ao movimento. E as partículas podem se mover de várias maneiras, como movimento, rotação ou vibração. É claro que nem todos o farão da mesma maneira e, como são incontáveis, a média é considerada para caracterizar o sistema.

Alguns estados de energia são mais prováveis ​​do que outros. Este conceito é de importância radical na termodinâmica. A energia considerada na equação anterior é a energia cinética translacional. A probabilidade dos estados e sua relação com a constante de Boltzmann serão discutidas um pouco mais tarde.

Em 2018 o Kelvin foi redefinido e com ele a constante de Boltzmann, que no Sistema Internacional é de aproximadamente 1,380649 x 10 ^-23 J. K ^-1. Muito mais precisão pode ser alcançada para a constante de Boltzmann, que foi determinada em vários laboratórios ao redor do mundo, por diferentes métodos.

História

A famosa constante deve seu nome ao físico Ludwig Boltzmann (1844-1906), nascido em Viena, que dedicou sua vida como cientista ao estudo do comportamento estatístico de sistemas com muitas partículas, do ponto de vista da mecânica newtoniana.

Embora hoje a existência do átomo seja universalmente aceita, no século 19 a crença sobre se o átomo realmente existia ou era um artifício com o qual muitos fenômenos físicos eram explicados estava em pleno debate.

Boltzmann foi um ferrenho defensor da existência do átomo e, em sua época, enfrentou duras críticas de muitos colegas a seu trabalho, que o consideravam conter paradoxos insolúveis.

Ele afirmou que fenômenos observáveis ​​em níveis macroscópicos podem ser explicados pelas propriedades estatísticas das partículas constituintes, como átomos e moléculas.

Pode ser que essas críticas se devam ao profundo episódio de depressão que o levou a se suicidar no início de setembro de 1906, quando ainda tinha muito que fazer, já que era considerado um dos grandes físicos teóricos de sua época e pouco restava por fazer. que outros cientistas contribuem para corroborar a veracidade de suas teorias.

Pouco depois de sua morte, novas descobertas sobre a natureza do átomo e suas partículas constituintes se somaram para provar que Boltzmann estava certo.

Constante de Boltzmann e obras de Planck

Agora, a constante de Boltzmann k _B foi introduzida como é conhecida hoje, algum tempo depois do trabalho do físico austríaco. Foi Max Planck, na sua lei da emissão do corpo negro, obra que apresentou em 1901, que então lhe atribuiu o valor de 1,34 x 10 ⁻²³ J / K.

Por volta de 1933, uma placa com a definição de entropia envolvendo a famosa constante foi adicionada à lápide de Boltzmann em Viena como uma homenagem póstuma, que envolve a famosa constante: S = k _B log W, equação que será discutida posteriormente.

Hoje, a constante de Boltzmann é indispensável na aplicação das leis da termodinâmica, da mecânica estatística e da teoria da informação, campos dos quais esse físico com final triste foi um dos pioneiros.

Valor e equações

Os gases podem ser descritos em termos macroscópicos e também em termos microscópicos. Para a primeira descrição existem conceitos como densidade, temperatura e pressão.

No entanto, deve-se lembrar que um gás é composto de muitas partículas, que apresentam tendência global para determinado comportamento. É essa tendência que é medida macroscopicamente. Uma maneira de determinar a constante de Boltzmann é graças à conhecida equação do gás ideal:

Aqui, p é a pressão do gás, V é o seu volume, n é o número de moles presentes, R é a constante do gás e T é a temperatura. Em um mol de gás ideal, a seguinte relação é cumprida entre o produto pV e a energia cinética translacional K de todo o conjunto é:

Portanto, a energia cinética é:

Ao dividir pelo número total de moléculas presentes, que será denominado N, obtém-se a energia cinética média de uma única partícula:

Em um mol existe o número de partículas de Avogadro N _A e, portanto, o número total de partículas é N = nN A, deixando:

Precisamente a razão R / N _A é a constante de Boltzmann, demonstrando que a energia cinética translacional média de uma partícula depende apenas da temperatura absoluta T e não de outras grandezas como pressão, volume ou mesmo o tipo de molécula:

Constante de Boltzmann e entropia

Um gás tem uma determinada temperatura, mas essa temperatura pode corresponder a diferentes estados de energia interna. Como visualizar essa diferença?

Considere o lançamento simultâneo de 4 moedas e as maneiras pelas quais elas podem cair:

Maneiras em que 4 podem largar 4 moedas. Fonte: self made

O conjunto de moedas pode assumir um total de 5 estados, considerados macroscópicos, descritos na figura. Qual desses estados o leitor diria que é o mais provável?

A resposta deve ser o estado de 2 caras e 2 coroas, pois você tem um total de 6 possibilidades, das 16 ilustradas na figura. Y 2 ⁴ = 16. Estes são iguais aos estados microscópicos.

E se 20 moedas forem lançadas em vez de 4? Haveria um total de 2 ²⁰ possibilidades ou "estados microscópicos". É um número muito maior e mais difícil de manusear. Para facilitar o manuseio de grandes números, os logaritmos são muito apropriados.

Agora, o que parece evidente é que o estado com a maior desordem é o mais provável. Estados mais ordenados como 4 cabeças ou 4 selos são ligeiramente menos prováveis.

A entropia de um estado macroscópico S é definida como:

Onde w é o número de possíveis estados microscópicos do sistema e k _B é a constante de Boltzmann. Como ln w é adimensional, a entropia tem as mesmas unidades que k _B: Joule / K.

Esta é a famosa equação da lápide de Boltzmann em Viena. Porém, mais do que entropia, o que importa é sua mudança:

Como você calcula k

O valor da constante de Boltzmann é obtido experimentalmente de forma extremamente precisa com medições baseadas em termometria acústica, que são realizadas utilizando a propriedade que estabelece a dependência da velocidade do som em um gás com sua temperatura.

Na verdade, a velocidade do som em um gás é dada por:

B _adiabático = γp

E ρ é a densidade do gás. Para a equação acima, p é a pressão do gás em questão e γ é o coeficiente adiabático, cujo valor para um determinado gás se encontra nas tabelas.

Os institutos de metrologia também estão experimentando outras maneiras de medir a constante, como a termometria de ruído Johnson, que usa flutuações térmicas aleatórias nos materiais, principalmente nos condutores.

Exercícios resolvidos

-Exercício 1

Encontrar:

a) A energia cinética translacional média E _c que uma molécula de gás ideal possui a 25 ºC

b) A energia cinética translacional K das moléculas em 1 mol deste gás

c) A velocidade média de uma molécula de oxigênio a 25 ºC

Facto

_oxigênio m = 16 x 10 ^-3 kg / mol

Solução

a) E _c = (3/2) k T = 1,5 x 1,380649 x 10 ^-23 J. K ^-1 x 298 K = 6,2 x 10 ^-21 J

b) K = (3/2) nRT = 5 x 1 mol x 8,314 J / mol. K x 298 K = 3716 J

c) E _c = ½ mv ², levando em consideração que a molécula de oxigênio é diatômica e a massa molar deve ser multiplicada por 2, teremos:

Encontre a mudança na entropia quando 1 mol de gás ocupando um volume de 0,5 m ^{3 se} expande para ocupar 1 m ³.

Solução

ΔS = k _B ln (w ₂ / w ₁)

Referências

1. Atkins, P. 1999. Physical Chemistry. Edições Omega. 13-47.
2. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mc Graw Hill. 664-672.
3. Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6º.. Ed Prentice Hall. 443-444.
4. Sears, Zemansky. 2016. Física Universitária com Física Moderna. 14º. Ed. Volume 1. 647-673.
5. SIM Redefinição. Kelvin: Boltzmann Constant. Obtido em: nist.gov