QUASE-VARIÂNCIA: FÓRMULA E EQUAÇÕES, EXEMPLOS, EXERCÍCIO - DUDAS - 2025

O quasivariance, variância ou quase variância imparcial é uma medida estatística da dispersão da amostra de dados em relação à média. A amostra, por sua vez, consiste em uma série de dados retirados de um universo maior, denominado população.

É denotado de várias maneiras, aqui s _c ² foi escolhido e a seguinte fórmula é usada para calculá-lo:

Figura 1. A definição de quase-variância. Fonte: F. Zapata.

Onde:

A quase-variância é semelhante à variância s ², com a única diferença de que o denominador da variância é n-1, enquanto o denominador da variância é dividido apenas por n. É evidente que quando n é muito grande, os valores de ambos tendem a ser os mesmos.

Quando você conhece o valor da quase-variância, pode saber imediatamente o valor da variância.

Exemplos de quase-variância

Muitas vezes você deseja conhecer as características de qualquer população: pessoas, animais, plantas e em geral qualquer tipo de objeto. Mas analisar toda a população pode não ser uma tarefa fácil, especialmente se o número de elementos for muito grande.

Em seguida, são feitas amostragens, na esperança de que seu comportamento reflita o da população e, assim, possamos fazer inferências sobre ela, graças às quais os recursos são otimizados. Isso é conhecido como inferência estatística.

Aqui estão alguns exemplos em que a quase-variância e o desvio quase-padrão associado servem como um indicador estatístico, indicando a que distância os resultados obtidos estão da média.

1.- O diretor de marketing de uma empresa fabricante de baterias automotivas precisa estimar, em meses, a vida média de uma bateria.

Para fazer isso, ele seleciona aleatoriamente uma amostra de 100 baterias compradas dessa marca. A empresa mantém um registro dos detalhes dos compradores e pode entrevistá-los para saber quanto tempo as baterias duram.

Figura 2. Quase-variância é útil para fazer inferências e controle de qualidade. Fonte: Pixabay.

2.- A direção acadêmica de uma instituição universitária deve estimar as matrículas do ano seguinte, analisando o número de alunos que se espera que sejam aprovados nas disciplinas que cursam.

Por exemplo, em cada uma das seções atualmente cursando Física I, a administração pode selecionar uma amostra de alunos e analisar seu desempenho nessa cadeira. Desta forma, você pode inferir quantos alunos farão Física II no próximo período.

3.- Um grupo de astrônomos concentra sua atenção em uma parte do céu, onde se observa um certo número de estrelas com certas características: tamanho, massa e temperatura, por exemplo.

É de se perguntar se estrelas em outra região semelhante terão as mesmas características, até mesmo estrelas em outras galáxias, como as vizinhas Nuvens de Magalhães ou Andrômeda.

Por que dividir por n-1?

Na quase-variância, ela é dividida por n-1 ao invés de n e isso ocorre porque a quasivariada é um estimador não enviesado, como foi dito no início.

Acontece que de uma mesma população é possível extrair muitas amostras. A variância de cada uma dessas amostras também pode ser calculada, mas a média dessas variâncias não chega a ser igual à variância da população.

Na verdade, a média das variâncias da amostra tende a subestimar a variância da população, a menos que n-1 seja usado no denominador. Pode-se verificar que o valor esperado da quase-variância E (s _c ²) é precisamente s ².

Por esse motivo, diz-se que a quasivariada é não viesada e é o melhor estimador da variância populacional s ².

Maneira alternativa de calcular quasivariância

É facilmente mostrado que a quasivariância também pode ser calculada da seguinte forma:

s _c ² = -

A pontuação padrão

Tendo o desvio da amostra, podemos dizer quantos desvios padrão um determinado valor x tem, acima ou abaixo da média.

Para isso, a seguinte expressão adimensional é usada:

Pontuação padrão = (x - X) / s _c

Exercício resolvido

863 903 957 1041 1138 1204 1354 1624 1698 1745 1802 1883

a) Use a definição de quase-variância fornecida no início e também verifique o resultado usando a forma alternativa fornecida na seção anterior.

b) Calcule a pontuação padrão da segunda parte dos dados, lendo de cima para baixo.

Solução para

O problema pode ser resolvido manualmente com o auxílio de uma calculadora simples ou científica, para a qual é necessário proceder em ordem. E para isso, nada melhor do que organizar os dados em uma tabela como a mostrada abaixo:

Graças à tabela, a informação é organizada e as quantidades que vão ser necessárias nas fórmulas encontram-se no final das respectivas colunas, prontas a serem utilizadas de imediato. As somas são indicadas em negrito.

A coluna média se repete sempre, mas vale a pena porque é conveniente ter o valor em vista, para preencher cada linha da tabela.

Por fim, é aplicada a equação para a quase-variável dada no início, apenas os valores são substituídos e quanto ao somatório, já a temos calculada:

s _c ² = 1.593.770 / (12-1) = 1.593.770 / 11 = 144.888,2

Este é o valor da quasivariada e suas unidades são "dólares ao quadrado", o que não faz muito sentido prático, então o desvio quase padrão da amostra é calculado, que nada mais é do que a raiz quadrada da quasivariada:

s _c = (√ 144.888,2) $ = $ 380,64

É imediatamente confirmado que este valor também é obtido com a forma alternativa de quase-variância. A soma necessária está no final da última coluna à esquerda:

s _c ² = - = -

= 2.136.016,55 - 1.991.128,36 = $ 144.888 ao quadrado

É o mesmo valor obtido com a fórmula dada no início.

Solução b

O segundo valor de cima para baixo é 903, sua pontuação padrão é

Pontuação padrão de 903 = (x - X) / s _c = (903 - 1351) /380,64 = -1,177

Referências

1. Canavos, G. 1988. Probabilidade e Estatística: Aplicações e métodos. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. 8º. Edição. Cengage.
3. Levin, R. 1988. Statistics for Administrators. 2ª Edição. Prentice Hall.
4. Medidas de dispersão. Recuperado de: thales.cica.es.
5. Walpole, R. 2007. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. Pearson.