- Comprimento do acorde de um círculo
- Teorema das cordas
- Exercícios resolvidos de cordas
- - Exercício 1
- Solução
- - Exercício 2
- Solução
- Etapa 1: obtenha a equação canônica da circunferência
- Etapa 2: determinar os segmentos a serem usados no teorema das cordas
- Referências
Uma corda, na geometria plana, é o segmento de linha que une dois pontos em uma curva. A linha que contém este segmento é considerada uma linha secante da curva. Geralmente é um círculo, mas os acordes certamente podem ser desenhados em muitas outras curvas, como elipses e parábolas.
Na figura 1 à esquerda há uma curva, à qual pertencem os pontos A e B. O acorde entre A e B é o segmento verde. À direita está uma circunferência e uma de suas cordas, já que é possível desenhar infinitos.
Figura 1. À esquerda o acorde de uma curva arbitrária e à direita o acorde de um círculo. Fonte: Wikimedia Commons.
Na circunferência o seu diâmetro é particularmente interessante, também conhecido como acorde maior. É um acorde que sempre contém o centro da circunferência e mede o dobro do raio.
A figura a seguir mostra o raio, o diâmetro, uma corda e também o arco de uma circunferência. Identificar corretamente cada um é importante na resolução de problemas.
Figura 2. Elementos da circunferência. Fonte: Wikimedia Commons.
Comprimento do acorde de um círculo
Podemos calcular o comprimento da corda em um círculo nas Figuras 3a e 3b. Observe que um triângulo é sempre formado com dois lados iguais (isósceles): segmentos OA e OB, que medem R, o raio da circunferência. O terceiro lado do triângulo é o segmento AB, chamado C, que é precisamente o comprimento da corda.
É necessário traçar uma reta perpendicular à corda C para dividir o ângulo θ que existe entre os dois raios e cujo vértice é o centro O do círculo. Este é um ângulo central - porque seu vértice é o centro - e a linha bissetriz também é uma secante da circunferência.
Imediatamente se formam dois triângulos retângulos, cuja hipotenusa mede R. Como a bissetriz, e com ela o diâmetro, divide a corda em duas partes iguais, verifica-se que uma das pernas é a metade de C, conforme indicado em Figura 3b.
A partir da definição do seno de um ângulo:
sin (θ / 2) = perna oposta / hipotenusa = (C / 2) / R
Portanto:
sin (θ / 2) = C / 2R
C = 2R sen (θ / 2)
Figura 3. O triângulo formado por dois raios e uma corda de circunferência é isósceles (figura 3), pois possui dois lados iguais. A bissetriz divide em dois triângulos retângulos (Figura 3b). Fonte: elaborado por F. Zapata.
Teorema das cordas
O teorema das cordas é assim:
A figura a seguir mostra dois acordes da mesma circunferência: AB e CD, que se cruzam no ponto P. No acorde AB os segmentos AP e PB são definidos, enquanto no acorde CD CP e PD são definidos. Então, de acordo com o teorema:
AP. PB = CP. P.S.
Figura 4. O teorema da corda de um círculo. Fonte: F. Zapata.
Exercícios resolvidos de cordas
- Exercício 1
Um círculo tem uma corda de 48 cm, que está a 7 cm do centro. Calcule a área do círculo e o perímetro da circunferência.
Solução
Para calcular a área do círculo A, basta saber o raio da circunferência ao quadrado, pois é verdade:
A = π.R 2
Agora, a figura que se forma com os dados fornecidos é um triângulo retângulo, cujas pernas têm 7 e 24 cm respectivamente.
Figura 5. Geometria para o exercício resolvido 1. Fonte: F. Zapata.
Portanto, para encontrar o valor de R 2, o teorema de Pitágoras c 2 = a 2 + b 2 é aplicado diretamente, uma vez que R é a hipotenusa do triângulo:
R 2 = (7 cm) 2 + (24 cm) 2 = 625 centímetros dois
Portanto, a área solicitada é:
A = π. 625 cm 2 = 1963,5 cm 2
Em relação ao perímetro ou comprimento L da circunferência, é calculado por:
L = 2π. R
Substituindo valores:
R = √625 cm 2 = 25 cm
L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.
- Exercício 2
Determine o comprimento da corda de um círculo cuja equação é:
x 2 + y 2 - 6x - 14y -111 = 0
As coordenadas do ponto médio do acorde são conhecidas como P (17/2; 7/2).
Solução
O ponto médio do acorde P não pertence à circunferência, mas os pontos finais do acorde sim. O problema pode ser resolvido usando o teorema das cordas afirmado anteriormente, mas primeiro é conveniente escrever a equação da circunferência na forma canônica, para determinar seu raio R e seu centro O.
Etapa 1: obtenha a equação canônica da circunferência
A equação canônica do círculo com centro (h, k) é:
(xh) 2 + (yk) 2 = R 2
Para obtê-lo, você deve preencher os quadrados:
(x 2 - 6x) + (y 2 - 14y) -111 = 0
Observe que 6x = 2. (3x) e 14y = 2. (7y), de modo que a expressão anterior é reescrita assim, permanecendo inalterada:
(x 2 - 6x + 3 2 -3 2) + (y 2 - 14y + 7 2 -7 2) -111 = 0
E agora, lembrando da definição de produto notável (ab) 2 = a 2 - 2ab + b 2, você pode escrever:
(x - 3) 2 - 3 2 + (y - 7) 2 - 7 2 - 111 = 0
= (x - 3) 2 + (y - 7) 2 = 111 + 3 2 + 7 2 → (x - 3) 2 + (y - 7) 2 = 169
A circunferência tem centro (3,7) e raio R = √169 = 13. A figura a seguir mostra o gráfico da circunferência e os acordes a serem usados no teorema:
Figura 6. Gráfico da circunferência do exercício resolvido 2. Fonte: F. Zapata usando a calculadora gráfica online Mathway.
Etapa 2: determinar os segmentos a serem usados no teorema das cordas
Os segmentos a serem utilizados são as cordas CD e AB, conforme figura 6, ambas são cortadas no ponto P, portanto:
CP. PD = AP. PB
Agora vamos encontrar a distância entre os pontos O e P, pois isso nos dará o comprimento do segmento OP. Se somarmos o raio a este comprimento, teremos o segmento CP.
A distância d OP entre dois pontos coordenados (x 1, y 1) e (x 2, y 2) é:
d OP 2 = OP 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 = (3- 17/2) 2 + (7- 7/2) 2 = 121/4 + 49/4 = 170/4
d OP = OP = √170 / 2
Com todos os resultados obtidos, mais o gráfico, construímos a seguinte lista de segmentos (ver figura 6):
CO = 13 cm = R
OP = √170 / 2 cm
CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm
PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm
AP = PB
2.AP = comprimento do acorde
Substituindo no teorema das cordas:
CP. PD = AP. PB = = AP 2
= AP 2
253/2 = AP 2
AP = √ (253/2)
O comprimento da string é 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506
O leitor poderia resolver o problema de outra maneira?
Referências
- Baldor, A. 2004. Plane and Space Geometry with Trigonometry. Publicaciones Cultural SA de CV México.
- C-K12. Comprimento de um acorde. Recuperado de: ck12.org.
- Escobar, J. The Circumference. Recuperado de: matematicas.udea.edu.co.
- Villena, M. Cónicas. Recuperado de: dspace.espol.edu.ec.
- Wikipedia. Corda (geometria). Recuperado de: es.wikipedia.org.