- A derivada como inclinação da linha tangente a uma curva
- A derivada como a velocidade instantânea de um objeto em movimento
- Função algébrica
- Ignorar regras
- Derivada de uma constante
- Derivado de um poder
- Derivada de adição e subtração
- Derivado de um produto
- Derivada de um quociente
- Regra da corrente
- Referências
As derivadas algébricas consistem no estudo da derivada no caso de funções algébricas. A origem da noção de derivada remonta à Grécia Antiga. O desenvolvimento desta noção foi motivado pela necessidade de resolver dois problemas importantes, um em física e outro em matemática.
Na física, a derivada resolve o problema de determinar a velocidade instantânea de um objeto em movimento. Em matemática, permite encontrar a linha tangente a uma curva em um determinado ponto.
Embora existam realmente muitos mais problemas que são resolvidos com o uso da derivada, bem como suas generalizações, resultados que surgiram após a introdução de seu conceito.
Os pioneiros do cálculo diferencial são Newton e Leibniz. Antes de dar a definição formal, vamos desenvolver a ideia por trás dela, do ponto de vista matemático e físico.
A derivada como inclinação da linha tangente a uma curva
Suponha que o gráfico de uma função y = f (x) seja um gráfico contínuo (sem picos, vértices ou lacunas) e seja A = (a, f (a)) um ponto fixo nele. Queremos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto A.
Vamos pegar qualquer outro ponto P = (x, f (x)) no gráfico, próximo ao ponto A, e desenhar a linha secante que passa por A e P. Uma linha secante é uma linha que corta o gráfico de uma curva por um ou mais pontos.
Para obter a reta tangente que desejamos, precisamos apenas calcular a inclinação, pois já temos um ponto na reta: ponto A.
Se movermos o ponto P ao longo do gráfico e nos aproximarmos cada vez mais do ponto A, a linha secante mencionada anteriormente se aproximará da linha tangente que queremos encontrar. Tomando o limite quando "P tende para A", ambas as linhas coincidirão, portanto suas inclinações também.
A inclinação da linha secante é dada por
Dizer que P se aproxima de A é equivalente a dizer que "x" se aproxima de "a". Assim, a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto A será igual a:
A expressão acima é denotada por f '(a), e é definida como a derivada de uma função f no ponto “a”. Assim, vemos que analiticamente, a derivada de uma função em um ponto é um limite, mas geometricamente, é a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto.
Agora veremos essa noção do ponto de vista da física. Chegaremos à mesma expressão do limite anterior, embora por um caminho diferente, obtendo assim a unanimidade da definição.
A derivada como a velocidade instantânea de um objeto em movimento
Vejamos um breve exemplo do que significa velocidade instantânea. Quando se diz, por exemplo, que um carro para chegar a um destino o fez com uma velocidade de 100 km por hora, o que significa que em uma hora percorreu 100 km.
Isso não significa necessariamente que durante toda a hora o carro sempre esteve 100 km, o velocímetro do carro poderia em alguns momentos marcar menos ou mais. Se você precisasse parar em um semáforo, sua velocidade naquele momento era de 0 km. Porém, depois de uma hora, a viagem era de 100 km.
Isso é conhecido como velocidade média e é dado pelo quociente entre a distância percorrida e o tempo decorrido, como acabamos de ver. Já a velocidade instantânea é aquela que marca o ponteiro do velocímetro de um carro em um determinado instante (tempo).
Vamos examinar isso agora de forma mais geral. Suponha que um objeto se mova ao longo de uma linha e que esse deslocamento seja representado pela equação s = f (t), onde a variável t mede o tempo e a variável s o deslocamento, levando em consideração seu início em o instante t = 0, momento em que também é zero, ou seja, f (0) = 0.
Esta função f (t) é conhecida como função de posição.
Busca-se uma expressão para a velocidade instantânea do objeto em um instante fixo "a". Nessa velocidade, iremos denotá-lo por V (a).
Seja t qualquer instante próximo ao instante "a". No intervalo de tempo entre “a” e “t”, a mudança na posição do objeto é dada por f (t) -f (a).
A velocidade média neste intervalo de tempo é:
Que é uma aproximação da velocidade instantânea V (a). Essa aproximação será melhor à medida que t se aproxima de "a". Portanto, 
Observe que esta expressão é igual à obtida no caso anterior, mas de uma perspectiva diferente. Isso é o que é conhecido como a derivada de uma função f em um ponto "a" e é denotado por f '(a), conforme declarado acima.
Observe que fazendo a alteração h = xa, temos que quando "x" tende para "a", "h" tende para 0, e o limite anterior é transformado (de forma equivalente) em:
Ambas as expressões são equivalentes, mas às vezes é melhor usar uma em vez da outra, dependendo do caso.
A derivada de uma função f em qualquer ponto "x" pertencente ao seu domínio é então definida de uma forma mais geral como
A notação mais comum para representar a derivada de uma função y = f (x) é a que acabamos de ver (f 'ou y'). No entanto, outra notação amplamente usada é a notação de Leibniz, que é representada como qualquer uma das seguintes expressões:
Como a derivada é essencialmente um limite, ela pode ou não existir, pois os limites nem sempre existem. Se existir, a função em questão é considerada diferenciável em um determinado ponto.
Função algébrica
Uma função algébrica é uma combinação de polinômios por meio de adição, subtração, produtos, quocientes, potências e radicais.
Um polinômio é uma expressão da forma
P n = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +… + a 2 x 2 + a 1 x + a 0
Onde n é um número natural e todos a i, com i = 0,1,…, n, são números racionais e n ≠ 0. Nesse caso, o grau desse polinômio é n.
A seguir estão exemplos de funções algébricas:
As funções exponencial, logarítmica e trigonométrica não estão incluídas aqui. As regras de derivação que veremos a seguir são válidas para funções em geral, mas iremos nos restringir e aplicá-las no caso de funções algébricas.
Ignorar regras
Derivada de uma constante
Afirma que a derivada de uma constante é zero. Ou seja, se f (x) = c, então f '(x) = 0. Por exemplo, a derivada da função constante 2 é igual a 0.
Derivado de um poder
Se f (x) = x n, então f '(x) = nx n-1. Por exemplo, a derivada de x 3 é 3x 2. Como consequência disso, obtemos que a derivada da função identidade f (x) = x é f '(x) = 1x 1-1 = x 0 = 1.
Outro exemplo é o seguinte: seja f (x) = 1 / x 2, então f (x) = x -2 ef '(x) = - 2x -2-1 = -2x -3.
Esta propriedade também é raízes válidas, uma vez que raízes são poderes racionais e o acima também pode ser aplicado nesse caso. Por exemplo, a derivada de uma raiz quadrada é dada por
Derivada de adição e subtração
Se feg são funções diferenciáveis em x, então a soma f + g também é diferenciável e fica satisfeito que (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).
Da mesma forma, temos que (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Em outras palavras, a derivada de uma soma (subtração), é a soma (ou subtração) das derivadas.
Exemplo
Se h (x) = x 2 + x-1, então
h '(x) = (x 2) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.
Derivado de um produto
Se feg são funções diferenciáveis em x, então o produto fg também é diferenciável em x e é verdade que
(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).
Como consequência, segue-se que se c é uma constante ef é uma função diferenciável em x, então cf também é diferenciável em x e (cf) '(x) = cf' (X).
Exemplo
Se f (x) = 3x (x 2 +1), então
f '(x) = (3x)' (x 2 +1) + (3x) (x 2 +1) '= 3 (x)' (x 2 +1) + 3x
= 3 (1) (x 2 +1) + 3x = 3 (x 2 +1) + 3x (2x) = 3x 2 + 3 + 6x 2
= 9x 2 +3.
Derivada de um quociente
Se f e g são diferenciáveis em x e g (x) ≠ 0, então f / g também é diferenciável em x, e é verdade que
Exemplo: se h (x) = x 3 / (x 2 -5x), então
h '(x) = / (x 5 -5x) 2 = / (x 5 -5x) 2.
Regra da corrente
Esta regra permite derivar a composição das funções. Enuncie o seguinte: se y = f (u) é diferenciável em u, yu = g (x) é diferenciável em x, então a função composta f (g (x)) é diferenciável em x, e é verdade que '= f '(g (x)) g' (x).
Ou seja, a derivada de uma função composta é o produto da derivada da função externa (derivada externa) e a derivada da função interna (derivada interna).
Exemplo
Se f (x) = (x 4 -2x) 3, então
f '(x) = 3 (x 4 -2x) 2 (x 4 -2x)' = 3 (x 4 -2x) 2 (4x 3 -2).
Também há resultados para calcular a derivada da inversa de uma função, bem como generalização para derivadas de ordem superior. As aplicações são extensas. Entre eles, destacam-se sua utilidade em problemas de otimização e funções de máximo e mínimo.
Referências
- Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Cálculo diferencial. ITM.
- Cabrera, VM (1997). Calculation 4000. Editorial Progreso.
- Castaño, HF (2005). Matemática antes do cálculo. University of Medellin.
- Eduardo, NA (2003). Introdução ao cálculo. Edições de limite.
- Fuentes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo. Lulu.com.
- Purcell, EJ, Rigdon, SE, & Varberg, DE (2007). Cálculo. Pearson Education.
- Saenz, J. (2005). Cálculo diferencial (segunda edição). Barquisimeto: hipotenusa.
- Thomas, GB e Weir, MD (2006). Cálculo: várias variáveis. Pearson Education.