DIÂMETRO: SÍMBOLOS E FÓRMULAS, COMO OBTÊ-LO, CIRCUNFERÊNCIA - MATEMÁTICAS - 2025

O diâmetro é a linha reta que passa pelo centro de uma curva plana fechada ou de uma figura em duas ou três dimensões e que também une seus pontos opostos. Geralmente é um círculo (uma curva plana), um círculo (uma figura plana), uma esfera ou um cilindro circular direito (objetos tridimensionais).

Embora circunferência e círculo sejam geralmente considerados sinônimos, há uma diferença entre os dois termos. A circunferência é a curva fechada que envolve o círculo, que atende à condição de que a distância entre qualquer um de seus pontos e o centro seja a mesma. Esta distância nada mais é do que o raio da circunferência. Em vez disso, o círculo é uma figura plana limitada pela circunferência.

Figura 1. O diâmetro das rodas de bicicleta é uma característica importante em seu projeto. Fonte: Pixabay.

No caso de circunferência, círculo e esfera, o diâmetro é um segmento reto que contém pelo menos três pontos: o centro mais dois pontos da borda da circunferência ou círculo, ou a superfície da esfera.

E no caso do cilindro circular direito, o diâmetro se refere à seção transversal, que juntamente com a altura, são seus dois parâmetros característicos.

O diâmetro da circunferência e do círculo, simbolizado por ø ou simplesmente pela letra “D” ou “d”, está relacionado ao seu perímetro, contorno ou comprimento, que é denotado pela letra L:

L = π.D = π. ou

Sempre que houver uma circunferência, o quociente entre seu comprimento e seu diâmetro é o número irracional π = 3,14159…, desta forma:

π = L / D

Como obter o diâmetro?

Quando você tem o desenho da circunferência ou do círculo, ou diretamente do objeto circular, como uma moeda ou um anel por exemplo, é muito fácil encontrar o diâmetro com uma régua. Você apenas tem que se certificar de que a borda da régua toca dois pontos na circunferência e no centro dela ao mesmo tempo.

Um compasso de calibre, vernier ou compasso de calibre é muito adequado para medir diâmetros externos e internos em moedas, aros, anéis, porcas, tubos e muito mais.

Figura 2. Vernier digital medindo o diâmetro de uma moeda. Fonte: Pixabay.

Se ao invés do objeto ou seu desenho temos dados como o raio R, então multiplicando por 2 temos o diâmetro. E se o comprimento ou perímetro da circunferência for conhecido, o diâmetro também pode ser conhecido, limpando:

Outra forma de encontrar o diâmetro é conhecendo a área do círculo, a superfície esférica, a seção transversal do cilindro, a área curva do cilindro ou os volumes da esfera ou cilindro. Tudo depende de qual figura geométrica é. Por exemplo, o diâmetro está envolvido nas seguintes áreas e volumes:

-Área do círculo: π. (D / 2) ²

-Área da superfície esférica: 4π. (D / 2) ²

-Volume da esfera: (4/3) π. (D / 2) ³

-Volume do cilindro circular direito: π. (D / 2) ².H (H é a altura do cilindro)

Figuras de largura constante

O círculo é uma figura plana de largura constante, pois onde quer que você olhe para ele, a largura é o diâmetro D. No entanto, existem outras figuras talvez menos conhecidas cuja largura também é constante.

Em primeiro lugar, vejamos o que se entende por largura de figura: é a distância entre duas linhas paralelas - linhas de apoio -, que por sua vez são perpendiculares à direção dada e que prendem a figura, como mostra a imagem à esquerda:

Figura 3. Largura de qualquer figura plana (esquerda) e triângulo de Reuleaux, uma figura de largura constante (direita). Fonte: F. Zapata.

Próximo à direita está o triângulo de Reuleaux, que é uma figura de largura constante e que atende à condição especificada na figura à esquerda. Se a largura da figura for D, seu perímetro é dado pelo teorema de Barbier:

L = π.D

Os esgotos da cidade de São Francisco, na Califórnia, têm a forma de um triângulo de Reuleaux, batizado em homenagem ao engenheiro alemão Franz Reuleaux (1829 - 1905). Dessa forma, as tampas não podem cair pelo orifício e menos material é usado para fabricá-las, pois sua área é menor que a do círculo:

A = (1- √3).πD ² = 0,705.D ²

Enquanto para um círculo:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = 0,785. D ²

Mas este triângulo não é a única figura de largura constante. Você pode construir os chamados polígonos de Reuleaux com outros polígonos que possuem um número ímpar de lados.

Diâmetro de uma circunferência

Na próxima figura estão os elementos do círculo, definidos da seguinte forma:

Corda: segmento de reta que une dois pontos na circunferência. Na figura está o acorde que une os pontos C e D, mas podem ser desenhados infinitos acordes que unem qualquer par de pontos na circunferência.

Diâmetro: é a corda que passa pelo centro, unindo dois pontos da circunferência com o centro O. É a corda mais longa de uma circunferência, por isso é chamada de “corda maior”.

Raio: segmento de linha que une o centro a qualquer ponto da circunferência. Seu valor, como o diâmetro, é constante.

Circunferência: é o conjunto de todos os pontos equidistantes de O.

Arco: é definido como um segmento de circunferência delimitado por dois raios (não desenhado na figura).

Figura 4. Partes da circunferência, incluindo o diâmetro, que passa pelo centro. Fonte: Wikimedia Commons.

- Exemplo 1

O retângulo mostrado tem 10 polegadas de altura, que quando enrolado forma um cilindro circular direito cujo diâmetro é de 5 polegadas. Responda as seguintes questões:

Figura 5. Um retângulo enrolado se torna um cilindro circular direito. Fonte: Jiménez, R. Mathematics II. Geometria e trigonometria. 2ª Edição. Pearson.

a) Qual é o contorno do tubo?

b) Encontre a área do retângulo

c) Encontre a área da seção transversal do cilindro.

Solução para

O contorno do tubo é L = π.D = 5π in = 15,71 in.

Solução b

A área do retângulo é base x altura, com a base L já calculada e a altura é de 10 polegadas conforme o enunciado, portanto:

A = 15,71 pol. X 10 pol. = 157,1 pol. ².

Solução c

Por fim, a área solicitada é calculada assim:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4) D ² = (π / 4) x (5 pol.) ² = 19,63 pol. ².

- Exemplo 2

Calcule a área sombreada na Figura 5a. O quadrado tem o lado L.

Figura 6. Encontre a área sombreada na figura à esquerda. Jiménez, R. Mathematics II. Geometria e trigonometria. 2ª Edição. Pearson.

Solução

Na figura 5b, dois semicírculos de tamanho idêntico foram desenhados em rosa e azul, sobrepostos na figura original. Entre eles, eles formam um círculo completo. Se você encontrar a área do quadrado e subtrair a área do círculo, você cria a área sombreada na Figura 5b. E olhando de perto, descobrimos que é a metade da área sombreada em 5a.

-Área quadrada: L ²

-Diâmetro do semicírculo: L

-Área do círculo: π. (L / 2) ² = (π / 4) L ²

-Diferença das áreas = metade da área sombreada =

L ² - (π / 4) L ² = L ² = 0,2146 L ²

-Área sombreada = 2 x 0,2146 L ² = 0,4292L2

Quantos diâmetros uma circunferência tem?

Você pode desenhar diâmetros infinitos em um círculo, e qualquer um deles mede o mesmo.

Referências

1. Antonio. Triângulos de Reuleaux e outras curvas de largura constante. Recuperado de: divulgators.com.
2. Baldor, A. 2002. Plane and Space Geometry and Trigonometry. Grupo Cultural Patria.
3. Jiménez, R. Mathematics II. Geometria e trigonometria. 2ª Edição. Pearson.
4. Wikipedia. Triângulo de Reuleaux. Recuperado de: es.wikipedia.org.
5. Wolfram MathWorld. Diâmetro. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.