DISTÂNCIA EUCLIDIANA: CONCEITO, FÓRMULA, CÁLCULO, EXEMPLO - MATEMÁTICAS - 2025

A distância euclidiana é um número positivo que indica a separação entre dois pontos em um espaço onde os axiomas e teoremas da geometria de Euclides são cumpridos.

A distância entre dois pontos A e B em um espaço euclidiano é o comprimento do vetor AB pertencente à única linha que passa por esses pontos.

Figura 1. Espaço euclidiano unidimensional formado pela linha (OX). Vários pontos são mostrados no referido espaço, suas coordenadas e distâncias. (Elaborado por Ricardo Pérez).

O espaço que o ser humano percebe e por onde nos movemos é um espaço tridimensional (3-D), onde se cumprem os axiomas e teoremas da geometria de Euclides. Subespaços bidimensionais (planos) e subespaços unidimensionais (linhas) estão contidos neste espaço.

Os espaços euclidianos podem ser unidimensionais (1-D), bidimensionais (2-D), tridimensionais (3-D) ou n-dimensionais (nD).

Os pontos no espaço unidimensional X são aqueles que pertencem à linha orientada (OX), a direção de O para X é a direção positiva. Para localizar os pontos desta linha, utiliza-se o sistema cartesiano, que consiste em atribuir um número a cada ponto da linha.

Fórmula

A distância euclidiana d (A, B) entre os pontos A e B, localizados em uma linha, é definida como a raiz quadrada do quadrado das diferenças em suas coordenadas X:

d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)

Esta definição garante que: a distância entre dois pontos é sempre uma quantidade positiva. E que a distância entre A e B é igual à distância entre B e A.

A Figura 1 mostra o espaço euclidiano unidimensional formado pela linha (OX) e vários pontos dessa linha. Cada ponto possui uma coordenada:

O ponto A tem coordenada XA = 2,5, coordenada do ponto B XB = 4 e coordenada do ponto C XC = -2,5

d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5

d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5

d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0

Distância euclidiana em duas dimensões

O espaço euclidiano bidimensional é um plano. Os pontos de um plano euclidiano cumprem os axiomas da geometria euclidiana, por exemplo:

- Uma única linha passa por dois pontos.

- Três pontos no plano formam um triângulo cujos ângulos internos sempre somam 180º.

- Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados de suas pernas.

Em duas dimensões, um ponto possui coordenadas X e Y.

Por exemplo, um ponto P possui coordenadas (XP, YP) ​​e um ponto Q (XQ, YQ).

A distância euclidiana entre o ponto P e Q é definida com a seguinte fórmula:

d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)

Deve-se notar que esta fórmula é equivalente ao teorema de Pitágoras, conforme mostrado na Figura 2.

Figura 2. A distância entre dois pontos P e Q no plano atende ao teorema de Pitágoras. (Elaborado por Ricardo Pérez).

Superfícies não euclidianas

Nem todos os espaços bidimensionais estão de acordo com a geometria euclidiana. A superfície de uma esfera é um espaço bidimensional.

Os ângulos de um triângulo em uma superfície esférica não somam 180º e com isso o teorema de Pitágoras não se cumpre, portanto, uma superfície esférica não cumpre os axiomas de Euclides.

Distância euclidiana em n dimensões

O conceito de coordenadas pode ser estendido para dimensões maiores:

- Em 2-D, o ponto P tem coordenadas (XP, YP)

- Em 3-D, um ponto Q tem coordenadas (XQ, YQ, ZQ)

- Em 4-D, o ponto R terá coordenadas (XR, YR, ZR, WR)

- Em nD um ponto P terá coordenadas (P1, P2, P3,….., Pn)

A distância entre dois pontos P e Q de um espaço euclidiano n-dimensional é calculada com a seguinte fórmula:

d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …….. + (Qn - Pn) ^ 2)

O locus de todos os pontos Q em um espaço euclidiano n-dimensional equidistante de outro ponto fixo P (o centro) forma uma hiperesfera n-dimensional.

Como calcular a distância euclidiana

O seguinte mostra como a distância entre dois pontos localizados no espaço tridimensional euclidiano é calculada.

Suponha que o ponto A das coordenadas cartesianas x, y, z dado por A:(2, 3, 1) e o ponto B das coordenadas B:(-3, 2, 2).

Queremos determinar a distância entre esses pontos, para os quais se faz uso da relação geral:

d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2)

d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5.196

Exemplo

Existem dois pontos P e Q. O ponto P das coordenadas cartesianas x, y, z dado por P:(2, 3, 1) e o ponto Q das coordenadas Q:(-3, 2, 1).

É pedido para encontrar as coordenadas do ponto médio M do segmento que conecta os dois pontos.

O ponto desconhecido M é assumido como tendo coordenadas (X, Y, Z).

Uma vez que M é o ponto médio de, deve ser verdade que d (P, M) = d (Q, M), então d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 também deve ser verdadeiro:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2

Como neste caso, o terceiro termo é igual em ambos os membros, a expressão anterior se simplifica para:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2

Temos então uma equação com duas incógnitas X e Y. Outra equação é necessária para resolver o problema.

O ponto M pertence à linha que passa pelos pontos P e Q, que podemos calcular da seguinte maneira:

Primeiro encontramos o vetor diretor PQ da linha: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.

Então PM = OP + a PQ, onde OP é o vetor posição do ponto P e é um parâmetro que pertence aos números reais.

A equação acima é conhecida como a equação vetorial da linha, que nas coordenadas cartesianas assume a seguinte forma:

<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>

Equacionando os componentes correspondentes, temos:

X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0

Ou seja, X = 4 - 5a, Y = 6 - a, finalmente Z = 1.

É substituído na expressão quadrática que relaciona X a Y:

(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2

É simplificado:

(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2

Agora se desdobra:

4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a

É simplificado, cancelando termos semelhantes em ambos os membros:

4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a

O parâmetro a é apagado:

52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 resultando em a = 1.

Ou seja, X = 4 - 5, Y = 6 - 1, finalmente Z = 1.

Finalmente, obtemos as coordenadas cartesianas do ponto médio M do segmento:

M: (-1, 5, 1).

Referências

1. Lehmann C. (1972) Analytical Geometry. UTEHA.
2. Superprof. Distância entre dois pontos. Recuperado de: superprof.es
3. UNAM. Distância entre variedades sublineares afins. Recuperado de: prometeo.matem.unam.mx/
4. wikipedia. Distância euclidiana. Recuperado de: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Espaço euclidiano. Recuperado de: es.wikipedia.com