A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade pela qual se calcula a probabilidade de ocorrência de eventos, desde que ocorram sob duas modalidades: sucesso ou fracasso.
Essas designações (sucesso ou fracasso) são completamente arbitrárias, pois não significam necessariamente coisas boas ou ruins. Durante este artigo iremos indicar a forma matemática da distribuição binomial e então o significado de cada termo será explicado em detalhes.
Figura 1. O lançamento de um dado é um fenômeno que pode ser modelado usando a distribuição binomial. Fonte: Pixabay.
Equação
A equação é a seguinte:
Com x = 0, 1, 2, 3….n, onde:
- P (x) é a probabilidade de ter exatamente x sucessos entre n tentativas ou tentativas.
- x é a variável que descreve o fenômeno de interesse, correspondendo ao número de sucessos.
- no número de tentativas
- p é a probabilidade de sucesso em 1 tentativa
- q é a probabilidade de falha em 1 tentativa, portanto q = 1 - p
O ponto de exclamação "!" é usado para notação fatorial, então:
0! = 1
1! = 1
dois! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
E assim por diante.
Conceito
A distribuição binomial é muito apropriada para descrever situações em que um evento ocorre ou não. Se ocorrer, é um sucesso e, se não, é um fracasso. Além disso, a probabilidade de sucesso deve sempre permanecer constante.
Existem fenômenos que se enquadram nessas condições, por exemplo, o lançamento de uma moeda. Nesse caso, podemos dizer que "sucesso" é ganhar um rosto. A probabilidade é ½ e não muda, não importa quantas vezes a moeda seja jogada.
O lançamento de um dado honesto é outro bom exemplo, assim como categorizar uma determinada produção em peças boas e peças defeituosas e obter um vermelho em vez de um preto ao girar uma roda.
Caracteristicas
Podemos resumir as características da distribuição binomial da seguinte forma:
- Qualquer evento ou observação é extraído de uma população infinita sem reposição ou de uma população finita com reposição.
- Apenas duas opções são consideradas, mutuamente exclusivas: sucesso ou fracasso, conforme explicado no início.
- A probabilidade de sucesso deve ser constante em qualquer observação feita.
- O resultado de qualquer evento é independente de qualquer outro evento.
- A média da distribuição binomial é np
- O desvio padrão é:
Exemplo de aplicação
Vamos pegar um evento simples, que pode obter 2 caras 5 ao rolar um dado honesto 3 vezes. Qual é a probabilidade de que em 3 jogadas 2 caras de 5 sejam obtidas?
Existem várias maneiras de conseguir isso, por exemplo:
- Os dois primeiros lançamentos são 5 e o último não.
- O primeiro e o último são 5, mas não o do meio.
- Os dois últimos lançamentos são 5 e o primeiro não.
Vamos pegar a primeira sequência descrita como exemplo e calcular sua probabilidade de ocorrência. A probabilidade de obter 5 caras no primeiro lançamento é de 1/6, e também no segundo, por serem eventos independentes.
A probabilidade de obter outra cabeça diferente de 5 no último lançamento é de 1 - 1/6 = 5/6. Portanto, a probabilidade de que essa sequência ocorra é o produto das probabilidades:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
E as outras duas sequências? Eles têm a mesma probabilidade: 0,023.
E como temos um total de 3 sequências de sucesso, a probabilidade total será:
Exemplo 2
Uma universidade afirma que 80% dos alunos do time de basquete universitário se formam. Uma investigação examina o histórico escolar de 20 alunos do referido time de basquete que se inscreveram na universidade há algum tempo.
Destes 20 alunos, 11 concluíram os estudos e 9 desistiram.
Figura 2. Quase todos os alunos que jogam pela equipe da faculdade se formam. Fonte: Pixabay.
Se a afirmação da universidade for verdadeira, o número de alunos que jogam basquete e se formam, em 20, deve ter uma distribuição binomial com n = 20 ep = 0,8. Qual é a probabilidade de que exatamente 11 dos 20 jogadores se formem?
Solução
Na distribuição binomial:
Exemplo 3
Os pesquisadores realizaram um estudo para determinar se havia diferenças significativas nas taxas de graduação entre estudantes de medicina admitidos em programas especiais e estudantes de medicina admitidos por critérios regulares de admissão.
A taxa de graduação encontrada foi de 94% para médicos estudantes admitidos em programas especiais (com base em dados do Journal of the American Medical Association).
Se 10 dos alunos dos programas especiais forem selecionados aleatoriamente, encontre a probabilidade de que pelo menos 9 deles tenham se formado.
b) Seria incomum selecionar aleatoriamente 10 alunos de programas especiais e descobrir que apenas 7 deles se formaram?
Solução
A probabilidade de um aluno admitido em um programa especial se formar é 94/100 = 0,94. Escolhemos n = 10 alunos de programas especiais e queremos descobrir a probabilidade de que pelo menos 9 deles se formem.
Os seguintes valores são então substituídos na distribuição binomial:
b)
Referências
- Berenson, M. 1985. Statistics for Management and Economics. Interamericana SA
- MathWorks. Distribuição binomial. Recuperado de: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Statistics for Management and Economics. 3º edição. Grupo Editorial Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Estatísticas Básicas Aplicadas. 2ª Edição.
- Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11º. Ed. Pearson Education.
- Wikipedia. Distribuição binomial. Recuperado de: es.wikipedia.org