DISTRIBUIÇÃO DE POISSON: FÓRMULAS, EQUAÇÕES, MODELO, PROPRIEDADES - DUDAS - 2025

A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta, por meio da qual é possível saber a probabilidade de que, dentro de um grande tamanho de amostra e durante um determinado intervalo, um evento de pequena probabilidade ocorra.

Freqüentemente, a distribuição de Poisson pode ser usada no lugar da distribuição binomial, desde que as seguintes condições sejam atendidas: amostra grande e probabilidade pequena.

Figura 1. Gráfico da distribuição de Poisson para diferentes parâmetros. Fonte: Wikimedia Commons.

Siméon-Denis Poisson (1781-1840) criou esta distribuição que leva o seu nome, muito útil quando se trata de eventos imprevisíveis. Poisson publicou seus resultados em 1837, um trabalho de investigação sobre a probabilidade de ocorrência de sentenças criminais errôneas.

Posteriormente, outros pesquisadores adaptaram a distribuição em outras áreas, por exemplo, o número de estrelas que poderiam ser encontradas em um determinado volume do espaço, ou a probabilidade de um soldado morrer com o coice de um cavalo.

Fórmula e equações

A forma matemática da distribuição de Poisson é a seguinte:

- μ (também às vezes denotado como λ) é a média ou parâmetro da distribuição

- Número de Euler: e = 2,71828

- A probabilidade de obter y = k é P

- k é o número de sucessos 0, 1,2,3…

- n é o número de testes ou eventos (o tamanho da amostra)

Variáveis ​​aleatórias discretas, como seu nome indica, dependem do acaso e só assumem valores discretos: 0, 1, 2, 3, 4…, k.

A média da distribuição é dada por:

A variância σ, que mede a dispersão dos dados, é outro parâmetro importante. Para a distribuição de Poisson é:

σ = μ

Poisson determinou que quando n → ∞, ep → 0, a média μ - também chamada de valor esperado - tende a uma constante:

-Os eventos ou eventos considerados são independentes uns dos outros e ocorrem de forma aleatória.

-A probabilidade P de um determinado evento ocorrer durante um período específico de tempo é muito pequena: P → 0.

-A probabilidade de mais de um evento ocorrer no intervalo de tempo é 0.

-O valor médio se aproxima de uma constante dada por: μ = np (n é o tamanho da amostra)

- Como a dispersão σ é igual a μ, ao adotar valores maiores, a variabilidade também se torna maior.

-Os eventos devem ser distribuídos uniformemente no intervalo de tempo usado.

-O conjunto de valores possíveis do evento y é: 0,1,2,3,4….

-A soma de i variáveis ​​que seguem uma distribuição de Poisson também é outra variável de Poisson. Seu valor médio é a soma dos valores médios dessas variáveis.

Diferenças com a distribuição binomial

A distribuição de Poisson difere da distribuição binomial das seguintes maneiras importantes:

-A distribuição binomial é afetada tanto pelo tamanho da amostra n quanto pela probabilidade P, mas a distribuição de Poisson é afetada apenas pela média μ.

-Em uma distribuição binomial, os valores possíveis da variável aleatória y são 0,1,2,…, N, enquanto na distribuição de Poisson não há limite superior para esses valores.

Exemplos

Poisson inicialmente aplicou sua famosa distribuição a casos legais, mas em um nível industrial, um de seus primeiros usos foi na fabricação de cerveja. Neste processo, as culturas de fermento são utilizadas para a fermentação.

A levedura consiste em células vivas, cuja população é variável ao longo do tempo. Na fabricação de cerveja é necessário adicionar a quantidade necessária, pois é necessário saber a quantidade de células que existem por unidade de volume.

Durante a Segunda Guerra Mundial, a distribuição de Poisson foi usada para descobrir se os alemães estavam realmente mirando em Londres de Calais, ou apenas atirando ao acaso. Isso foi importante para os Aliados determinarem o quão boa era a tecnologia disponível para os nazistas.

Aplicações práticas

As aplicações da distribuição de Poisson sempre se referem a contagens no tempo ou contagens no espaço. E como a probabilidade de ocorrência é pequena, também é conhecida como a "lei dos eventos raros".

Aqui está uma lista de eventos que se enquadram em uma dessas categorias:

-Registro das partículas em um decaimento radioativo, que, como o crescimento de células de levedura, é uma função exponencial.

- Número de visitas a um determinado site.

-Chegada de pessoas a uma fila para pagar ou serem atendidas (teoria da fila).

- Número de carros que passam por determinado ponto de uma estrada, durante um determinado intervalo de tempo.

Figura 2. O número de carros passando por um ponto segue aproximadamente uma distribuição de Poisson. Fonte: Pixabay.

-Mutações sofridas em uma determinada cadeia de DNA após receber exposição à radiação.

- Número de meteoritos com diâmetro superior a 1 m caídos em um ano.

-Defeitos por metro quadrado de tecido.

-Quantidade de células sanguíneas em 1 centímetro cúbico.

-Chamadas por minuto para uma central telefônica.

-Raspas de chocolate presentes em 1 kg de massa de bolo.

-Número de árvores infectadas por determinado parasita em 1 hectare de floresta.

Observe que essas variáveis ​​aleatórias representam o número de vezes que um evento ocorre durante um período fixo de tempo (chamadas por minuto para a central telefônica) ou uma determinada região do espaço (defeitos de tecido por metro quadrado).

Esses eventos, como já foi estabelecido, são independentes do tempo decorrido desde a última ocorrência.

Aproximando a distribuição binomial com a distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson é uma boa aproximação da distribuição binomial, desde que:

- O tamanho da amostra é grande: n ≥ 100

-A probabilidade p é pequena: p ≤ 0,1

- μ está na ordem de: np ≤ 10

Nesses casos, a distribuição de Poisson é uma excelente ferramenta, uma vez que a distribuição binomial pode ser difícil de aplicar nesses casos.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Um estudo sismológico determinou que durante os últimos 100 anos, ocorreram 93 grandes terremotos ao redor do mundo, com pelo menos 6,0 na escala Richter -logarítmica-. Suponha que a distribuição de Poisson seja um modelo adequado neste caso. Encontrar:

a) A ocorrência média de grandes terremotos por ano.

b) Se P (y) é a probabilidade de terremotos ocorrerem durante um ano selecionado aleatoriamente, encontre as seguintes probabilidades:

É bem menor que P (2).

Os resultados estão listados abaixo:

P (0) = 0,395, P (1) = 0,367, P (2) = 0,171, P (3) = 0,0529, P (4) = 0,0123, P (5) = 0,00229, P (6) = 0,000355, P (7) = 0,0000471.

Por exemplo, podemos dizer que há uma probabilidade de 39,5% de que nenhum grande terremoto ocorrerá em um determinado ano. Ou que há 5,29% de 3 grandes terremotos ocorrendo naquele ano.

Solução c)

c) As frequências são analisadas, multiplicando por n = 100 anos:

39,5; 36,7; 17,1; 5,29; 1,23; 0,229; 0,0355 e 0,00471.

Por exemplo:

- Uma frequência de 39,5 indica que 0 grandes terremotos ocorrem em 39,5 de 100 anos, podemos dizer que é bem próximo do resultado real de 47 anos sem nenhum grande terremoto.

Vamos comparar outro resultado de Poisson com os resultados reais:

- O valor obtido de 36,7 significa que em um período de 37 anos ocorre 1 grande terremoto. O resultado real é que em 31 anos ocorreu um grande terremoto, uma boa combinação com o modelo.

- São esperados 17,1 anos com 2 grandes terremotos e sabe-se que em 13 anos, que é um valor próximo, ocorreram de fato 2 grandes terremotos.

Portanto, o modelo de Poisson é aceitável para este caso.

Exercício 2

Uma empresa estima que o número de componentes que falham antes de chegar a 100 horas de operação segue uma distribuição de Poisson. Se o número médio de falhas for 8 nesse tempo, encontre as seguintes probabilidades:

a) Que um componente falha em 25 horas.

b) Falha de menos de dois componentes, em 50 horas.

c) Pelo menos três componentes falham em 125 horas.

Solução para)

a) Sabe-se que a média de falhas em 100 horas é de 8, portanto em 25 horas espera-se um quarto de falhas, ou seja, 2 falhas. Este será o parâmetro μ.

A probabilidade de que 1 componente falhe é solicitada, a variável aleatória é "componentes que falham antes de 25 horas" e seu valor é y = 1. Ao substituir na função de probabilidade:

No entanto, a questão é a probabilidade de que menos de dois componentes falhem em 50 horas, não que exatamente 2 componentes falhem em 50 horas, portanto, devemos adicionar as probabilidades de que:

-Nenhum falha

- Falha apenas 1

O parâmetro μ da distribuição neste caso é:

μ = 8 + 2 = 10 falhas em 125 horas.

P (falha em 3 ou mais componentes) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

Referências

1. MathWorks. Distribuição de veneno. Recuperado de: es.mathworks.com
2. Mendenhall, W. 1981. Statistics for Management and Economics. 3º edição. Grupo Editorial Iberoamérica.
3. Stat Trek. Aprenda a Estatística. Distribuição de veneno. Recuperado de: stattrek.com,
4. Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11º. Ed. Pearson Education.
5. Wikipedia. Distribuição de veneno. Recuperado de: en.wikipedia.org