ERRO DE AMOSTRAGEM: FÓRMULAS E EQUAÇÕES, CÁLCULOS, EXEMPLOS - DUDAS - 2025

O erro de amostragem ou erro de amostragem nas estatísticas é a diferença entre o valor médio de uma amostra e o valor médio da população total. Para ilustrar a ideia, vamos imaginar que a população total de uma cidade seja de um milhão de pessoas, da qual você deseja o tamanho médio de um calçado, para o qual uma amostra aleatória de mil pessoas é retirada.

O tamanho médio que emerge da amostra não coincidirá necessariamente com o da população total, embora se a amostra não for enviesada o valor deve ser próximo. Essa diferença entre o valor médio da amostra e o da população total é o erro amostral.

Figura 1. Como a amostra é um subconjunto da população total, a média da amostra tem uma margem de erro. Fonte: F. Zapata.

O valor médio da população total geralmente é desconhecido, mas existem técnicas para reduzir esse erro e fórmulas para estimar a margem de erro de amostragem que serão discutidas neste artigo.

Fórmulas e equações

Digamos que desejamos saber o valor médio de uma determinada característica mensurável x em uma população de tamanho N, mas como N é um número grande, não é viável realizar o estudo na população total, então procedemos para obter uma amostra aleatória de tamanho n <

O valor médio da amostra é denotado por e o valor médio da população total é denotado pela letra grega μ (leia mu ou miu).

Suponha que m amostras sejam retiradas da população total N, todas de tamanho igual n com valores médios 1>, 2>, 3>,….m>.

Esses valores médios não serão idênticos entre si e estarão todos em torno do valor médio da população μ. A margem de erro de amostragem E indica a separação esperada dos valores médios em relação ao valor médio da população μ dentro de uma porcentagem especificada, chamada de nível de confiança γ (gama).

A margem de erro padrão ε da amostra de tamanho n é:

ε = σ / √n

onde σ é o desvio padrão (a raiz quadrada da variância), que é calculado usando a seguinte fórmula:

σ = √

O significado da margem de erro padrão ε é o seguinte:

Valor médio obtido pela amostra de tamanho n está incluído no intervalo ( - ε, + ε) com nível de confiança de 68,3%.

Como calcular o erro de amostragem

Na seção anterior, foi dada a fórmula para encontrar a margem de erro padrão de uma amostra de tamanho n, onde a palavra padrão indica que se trata de uma margem de erro com 68% de confiança.

Isso indica que, se muitas amostras do mesmo tamanho n forem tomadas, 68% delas darão valores médios no intervalo.

Existe uma regra simples, chamada de regra 68-95-99,7, que nos permite encontrar facilmente a margem de erro amostral E para níveis de confiança de 68%, 95% e 99,7%, uma vez que esta margem é 1⋅ ε, 2 ⋅ ε e 3⋅ ε respectivamente.

Para um nível de confiança

Se o nível de confiança γ não for um dos acima, então o erro de amostragem é o desvio padrão σ multiplicado pelo fator Zγ, que é obtido pelo seguinte procedimento:

1.- Primeiramente, é determinado o nível de significância α, que é calculado a partir do nível de confiança γ através da seguinte relação: α = 1 - γ

2.- A seguir devemos calcular o valor 1 - α / 2 = (1 + γ) / 2, que corresponde à frequência normal acumulada entre -∞ e Zγ, numa distribuição normal ou gaussiana tipificada F (z), cuja definição pode ser visto na figura 2.

3.- A equação F (Zγ) = 1 - α / 2 é resolvida por meio das tabelas da distribuição normal (cumulativa) F, ou por meio de uma aplicação informática que tenha a função gaussiana inversa F ^-1.

No último caso, temos:

Zγ = G ^-1 (1 - α / 2).

4.- Finalmente, esta fórmula é aplicada para o erro de amostragem com um nível de confiabilidade γ:

E = Zγ ⋅ (σ / √n)

Figura 2. Tabela de distribuição normal. Fonte: Wikimedia Commons.

Exemplos

- Exemplo 1

Calcule a margem de erro padrão no peso médio de uma amostra de 100 recém-nascidos. O cálculo do peso médio foi= 3.100 kg com um desvio padrão σ = 1.500 kg.

Solução

A margem de erro padrão é ε = σ / √n = (1.500 kg) / √100 = 0,15 kg. Isso significa que com esses dados pode-se inferir que o peso de 68% dos recém-nascidos está entre 2.950 kg e 3,25 kg.

- Exemplo 2

Determine a margem de erro amostral E e a faixa de peso de 100 recém-nascidos com nível de confiança de 95% se o peso médio for 3.100 kg com desvio padrão σ = 1.500 kg.

Solução

Se a regra 68 se aplicar; 95; 99,7 → 1⋅ ε; 2⋅ ε; 3⋅ ε, temos:

E = 2⋅ε = 2⋅0,15 kg = 0,30 kg

Ou seja, 95% dos recém-nascidos terão peso entre 2.800 kg e 3.400 kg.

- Exemplo 3

Determine a faixa de pesos dos recém-nascidos no Exemplo 1 com uma margem de confiança de 99,7%.

Solução

O erro de amostragem com 99,7% de confiança é 3 σ / √n, que para nosso exemplo é E = 3 * 0,15 kg = 0,45 kg. Daqui decorre que 99,7% dos recém-nascidos terão pesos entre 2.650 kg e 3.550 kg.

- Exemplo 4

Determine o fator Zγ para um nível de confiança de 75%. Determine a margem de erro de amostragem com este nível de confiabilidade para o caso apresentado no Exemplo 1.

Solução

O nível de confiança é γ = 75% = 0,75, que está relacionado ao nível de significância α por meio da relação γ = (1 - α), de forma que o nível de significância é α = 1 - 0,75 = 0, 25.

Isso significa que a probabilidade normal cumulativa entre -∞ e Zγ é:

P (Z ≤ Zγ) = 1 - 0,125 = 0,875

Que corresponde a um valor Zγ de 1,1503, conforme mostrado na Figura 3.

Figura 3. Determinação do fator Zγ correspondente a um nível de confiança de 75%. Fonte: F. Zapata por Geogebra.

Em outras palavras, o erro de amostragem é E = Zγ ⋅ (σ / √n) = 1,15 ⋅ (σ / √n).

Quando aplicado aos dados do exemplo 1, dá um erro de:

E = 1,15 * 0,15 kg = 0,17 kg

Com um nível de confiança de 75%.

- Exercício 5

Qual é o nível de confiança se Z _{α / 2} = 2,4?

Solução

P (Z ≤ Z _{α / 2}) = 1 - α / 2

P (Z ≤ 2,4) = 1 - α / 2 = 0,9918 → α / 2 = 1 - 0,9918 = 0,0082 → α = 0,0164

O nível de significância é:

α = 0,0164 = 1,64%

E, finalmente, o nível de confiança permanece:

1- α = 1 - 0,0164 = 100% - 1,64% = 98,36%

Referências

1. Canavos, G. 1988. Probabilidade e Estatística: Aplicações e métodos. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. 8º. Edição. Cengage.
3. Levin, R. 1988. Statistics for Administrators. 2ª Edição. Prentice Hall.
4. Sudman, S. 1982. Fazendo perguntas: um guia prático para o desenho de questionários. São Francisco. Jossey Bass.
5. Walpole, R. 2007. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. Pearson.
6. Wonnacott, TH e RJ Wonnacott. 1990. Estatísticas introdutórias. 5ª Ed. Wiley
7. Wikipedia. Erro de amostragem. Recuperado de: en.wikipedia.com
8. Wikipedia. Margem de erro. Recuperado de: en.wikipedia.com