- Para que servem as funções de injeção?
- Condicionamento de função
- Exemplos de funções de injeção com exercícios resolvidos
- Exemplo 1
- Exemplo 2
- Exemplo 3
- Exemplo 4
- Exemplo 5
- Exemplo 6
- Referências
Uma função injetiva é qualquer relação de elementos do domínio com um único elemento do codomínio. Também conhecidas como funções um-para-um (1 - 1), elas fazem parte da classificação de funções com relação à forma como seus elementos estão relacionados.
Um elemento do codomínio só pode ser a imagem de um único elemento do domínio, dessa forma os valores da variável dependente não podem ser repetidos.
Fonte: Autor.
Um exemplo claro seria agrupar homens com empregos no grupo A e no grupo B todos os chefes. A função F será aquela que associa cada trabalhador ao seu chefe. Se cada trabalhador estiver associado a uma saliência diferente por meio de F, então F será uma função injetiva.
Para considerar uma função injetiva, o seguinte deve ser atendido:
∀ x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1) ≠ F (x 2)
Esta é a maneira algébrica de dizer: Para cada x 1 diferente de x 2, temos um F (x 1) diferente de F (x 2).
Para que servem as funções de injeção?
A injetividade é uma propriedade das funções contínuas, pois garantem a atribuição de imagens para cada elemento do domínio, aspecto essencial para a continuidade de uma função.
Ao desenhar uma linha paralela ao eixo X no gráfico de uma função injetiva, o gráfico deve ser tocado apenas em um único ponto, não importa em que altura ou magnitude de Y a linha é desenhada. Esta é a forma gráfica de testar a injetividade de uma função.
Outra forma de testar se uma função é injetiva é resolvendo a variável independente X em termos da variável dependente Y. Em seguida, deve-se verificar se o domínio desta nova expressão contém os números reais, ao mesmo tempo que para cada valor de Y existe um único valor de X.
As funções ou relações de ordem obedecem, entre outras formas, à notação F: D f → C f
O que é lido F que vai de D f a C f
Onde a função F relaciona os conjuntos Domínio e Codomain. Também conhecido como conjunto inicial e conjunto final.
O domínio D f contém os valores permitidos para a variável independente. O codomínio C f é composto por todos os valores disponíveis para a variável dependente. Os elementos de C f relacionados a D f são conhecidos como o intervalo da função (R f).
Condicionamento de função
Às vezes, uma função que não é injetiva pode estar sujeita a certas condições. Essas novas condições podem torná-la uma função injetiva. Todos os tipos de modificações no domínio e no codomínio da função são válidos, onde o objetivo é cumprir as propriedades de injetividade na relação correspondente.
Exemplos de funções de injeção com exercícios resolvidos
Exemplo 1
Seja a função F: R → R definida pela linha F (x) = 2x - 3
UMA:
Fonte: Autor.
Observa-se que para cada valor do domínio existe uma imagem no codomínio. Esta imagem é única, o que torna F uma função injetiva. Isso se aplica a todas as funções lineares (funções cujo grau mais alto da variável é um).
Fonte: Autor.
Exemplo 2
Deixe a função F: R → R ser definida por F (x) = x 2 +1
Fonte: Autor
Ao traçar uma linha horizontal, observa-se que o gráfico é encontrado em mais de uma ocasião. Devido a isso, a função F não é injetiva, desde que R → R seja definido
Prosseguimos para condicionar o domínio da função:
F: R + U {0} → R
Fonte: Autor
Agora a variável independente não assume valores negativos, evitando-se assim a repetição dos resultados e a função F: R + U {0} → R definida por F (x) = x 2 + 1 é injetiva.
Outra solução homóloga seria limitar o domínio à esquerda, ou seja, restringir a função para assumir apenas valores negativos e zero.
Prosseguimos para condicionar o domínio da função
F: R - U {0} → R
Fonte: Autor
Agora a variável independente não assume valores negativos, evitando-se assim a repetição dos resultados e a função F: R - U {0} → R definida por F (x) = x 2 + 1 é injetiva.
As funções trigonométricas têm comportamentos de onda, onde é muito comum encontrar repetições de valores na variável dependente. Por meio de condicionamento específico, com base no conhecimento prévio dessas funções, podemos estreitar o domínio para atender às condições de injetividade.
Exemplo 3
Deixe a função F: → R ser definida por F (x) = Cos (x)
No intervalo, a função cosseno varia seus resultados entre zero e um.
Fonte: Autor.
Como pode ser visto no gráfico. Ele começa de zero em x = - π / 2, depois atinge um máximo em zero. É após x = 0 que os valores começam a se repetir, até que voltem a zero em x = π / 2. Desta forma, sabe-se que F (x) = Cos (x) não é injetiva para o intervalo.
Ao estudar o gráfico da função F (x) = Cos (x), observam-se intervalos onde o comportamento da curva se adapta aos critérios de injetividade. Como o intervalo
Onde a função varia resulta de 1 a -1, sem repetir nenhum valor na variável dependente.
Desta forma, a função função F: → R definida por F (x) = Cos (x). É injetivo
Existem funções não lineares onde ocorrem casos semelhantes. Para expressões de tipo racional, onde o denominador contém pelo menos uma variável, existem restrições que impedem a injetividade da relação.
Exemplo 4
Deixe a função F: R → R ser definida por F (x) = 10 / x
A função é definida para todos os números reais, exceto {0} que tem uma indeterminação (não pode ser dividida por zero) .
Conforme a variável dependente se aproxima de zero a partir da esquerda, ela assume valores negativos muito grandes e, imediatamente após zero, os valores da variável dependente assumem grandes números positivos.
Essa interrupção faz com que a expressão F: R → R definida por F (x) = 10 / x
Não seja injetivo.
Como visto nos exemplos anteriores, a exclusão de valores no domínio serve para "reparar" essas indeterminações. Passamos a excluir zero do domínio, deixando os conjuntos inicial e final definidos da seguinte forma:
R - {0} → R
Onde R - {0} simboliza os reais, exceto para um conjunto cujo único elemento é zero.
Desse modo, a expressão F: R - {0} → R definida por F (x) = 10 / x é injetiva.
Exemplo 5
Deixe a função F: → R ser definida por F (x) = Sen (x)
No intervalo, a função seno varia seus resultados entre zero e um.
Fonte: Autor.
Como pode ser visto no gráfico. Ele começa do zero em x = 0 e, em seguida, atinge um máximo em x = π / 2. É após x = π / 2 que os valores começam a se repetir, até que voltem a zero em x = π. Desta forma, sabe-se que F (x) = Sen (x) não é injetiva para o intervalo.
Ao estudar o gráfico da função F (x) = Sen (x), observam-se intervalos onde o comportamento da curva se adapta aos critérios de injetividade. Como o intervalo
Onde a função varia resulta de 1 a -1, sem repetir nenhum valor na variável dependente.
Desta forma, a função F: → R definida por F (x) = Sen (x). É injetivo
Exemplo 6
Verifique se a função F: → R definida por F (x) = Tan (x)
F: → R definido por F (x) = Cos (x + 1)
F: R → R definido pela linha F (x) = 7x + 2
Referências
- Introdução à lógica e ao pensamento crítico. Merrilee H. Salmon. Universidade de Pittsburgh
- Problemas em Análise Matemática. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universidade de Wroclaw. Polônia.
- Elementos de análise abstrata. Mícheál O'Searcoid PhD. Departamento de matemática. Faculdade universitária Dublin, Beldfield, Dublind 4.
- Introdução à Lógica e à Metodologia das Ciências Dedutivas. Alfred Tarski, New York Oxford. Imprensa da Universidade de Oxford.
- Princípios de análise matemática. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Espanha.