Uma função sobrejetiva é qualquer relação em que cada elemento pertencente ao codomínio é uma imagem de pelo menos um elemento do domínio. Também conhecidas como função de envelope, fazem parte da classificação das funções quanto à forma como seus elementos se relacionam.

Por exemplo, uma função F: A → B definida por F (x) = 2x

Que se lê " F que vai de A a B definido por F (x) = 2x"

Você tem que definir os conjuntos A e B de partida e chegada .

R: {1, 2, 3, 4, 5} Agora, os valores ou imagens que cada um desses elementos produzirá quando avaliados em F serão os elementos do codomínio.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Formando assim o conjunto B: {2, 4, 6, 8, 10}

Conclui-se então que:

F: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10} definido por F (x) = 2x É uma função sobrejetiva

Cada elemento do codomínio deve resultar de pelo menos uma operação da variável independente por meio da função em questão. Não há limitação de imagens, um elemento do codomínio pode ser uma imagem de mais de um elemento do domínio e ainda experimentar uma função sobrejetiva.

Na imagem 2 exemplos com funções sobrejetivas são mostrados.

Fonte: Autor

No primeiro, observa-se que as imagens podem ser referidas ao mesmo elemento, sem comprometer a sobrejetividade da função.

Na segunda, vemos uma distribuição eqüitativa entre domínio e imagens. Isso dá origem à função bijetiva, onde os critérios de função injetiva e função sobrejetiva devem ser atendidos .

Outro método para identificar funções sobrejetivas é verificar se o codomínio é igual ao posto da função. Isso significa que se o conjunto de chegada for igual às imagens fornecidas pela função ao avaliar a variável independente, a função é sobrejetora.

Propriedades

Para considerar uma sobrejetiva de função, o seguinte deve ser cumprido:

Seja F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Esta é a maneira algébrica de estabelecer que para cada “b” que pertence a C _f existe um “a” que pertence a D _f tal que a função F avaliada em “a” é igual a “b”.

Surjetividade é uma peculiaridade das funções, em que o codomínio e o intervalo são semelhantes. Assim, os elementos avaliados na função compõem o conjunto de chegada.

Condicionamento de função

Às vezes, uma função que não é sobrejetiva pode estar sujeita a certas condições. Essas novas condições podem torná-la uma função sobrejetora.

Todos os tipos de modificações no domínio e no codomínio da função são válidos, onde o objetivo é cumprir as propriedades de sobrejetividade na relação correspondente.

Exemplos: exercícios resolvidos

Para atender às condições de sobrejetividade, diferentes técnicas de condicionamento devem ser aplicadas, a fim de garantir que cada elemento do codomínio esteja dentro do conjunto de imagens da função.

Exercício 1

• Deixe a função F: R → R ser definida pela linha F (x) = 8 - x

UMA:

Fonte: autor

Nesse caso, a função descreve uma linha contínua, que inclui todos os números reais em seu domínio e intervalo. Uma vez que o intervalo da função R _f é igual ao codomínio R, pode-se concluir que:

F: R → R definido pela linha F (x) = 8 - x é uma função sobrejetiva.

Isso se aplica a todas as funções lineares (funções cujo grau mais alto da variável é um).

Exercício 2

• Estude a função F: R → R definida por F (x) = x ²: Defina se é uma função sobrejetiva. Caso contrário, mostre as condições necessárias para torná-la sobrejetora.

Fonte: autor

A primeira coisa a levar em consideração é o codomínio de F, que é composto pelos números reais R. Não há como a função produzir valores negativos, o que exclui reais negativos das imagens possíveis.

Condicionando o codomínio ao intervalo. É evitado deixar elementos do codomínio não relacionados com F.

As imagens são repetidas para pares de elementos da variável independente, como x = 1 e x = - 1. Mas isso só afeta a injetividade da função, não sendo um problema para este estudo.

Desta forma, pode-se concluir que:

F: R → . Este intervalo deve condicionar o codomínio para atingir a sobrejetividade da função.

F: R → definido por F (x) = Sen (x) É uma função sobrejetiva

F: R → definido por F (x) = Cos (x) É uma função sobrejetiva

Exercício 4

• Estude a função

F:).push ({});

Fonte: Autor

A função F (x) = ± √x tem a particularidade de definir 2 variáveis ​​dependentes a cada valor de "x". Ou seja, o intervalo recebe 2 elementos para cada um que é feito no domínio. Um valor positivo e negativo deve ser verificado para cada valor de "x".

Ao observar o conjunto inicial, nota-se que o domínio já foi restringido, isso para evitar as indeterminações produzidas ao avaliar um número negativo dentro de uma raiz par.

Ao verificar o intervalo da função, nota-se que cada valor do codomínio pertence ao intervalo.

Desta forma, pode-se concluir que:

F: [0, ∞) → R definido por F (x) = ± √x É uma função sobrejetiva

Exercício 4

• Estude a função F (x) = Ln x denote se é uma função sobrejetiva. Condicione os conjuntos de chegada e partida para adequar a função aos critérios de sobrejetividade.

Fonte: Autor

Conforme mostrado no gráfico, a função F (x) = Ln x é definida para valores de "x" maiores que zero. Enquanto os valores de "e" ou as imagens podem assumir qualquer valor real.

Desta forma, podemos restringir o domínio de F (x) = ao intervalo (0, ∞)

Desde que o intervalo da função possa ser mantido como o conjunto de números reais R.

Diante disso, pode-se concluir que:

F: [0, ∞) → R definido por F (x) = Ln x É uma função sobrejetiva

Exercício 5

• Estude a função de valor absoluto F (x) = - x - e designe os conjuntos de chegada e partida que atendem aos critérios de sobrejetividade.

Fonte: Autor

O domínio da função é cumprido para todos os números reais R. Desta forma, o único condicionamento deve ser realizado no codomínio, levando em consideração que a função de valor absoluto assume apenas valores positivos.

Prosseguimos para estabelecer o codomínio da função igual ao posto da mesma

[0, ∞)

Agora pode-se concluir que:

F: [0, ∞) → R definido por F (x) = - x - É uma função sobrejetiva

Exercícios propostos

1. Verifique se as seguintes funções são sobrejetivas:

• F: (0, ∞) → R definido por F (x) = Log (x + 1)
• F: R → R definido por F (x) = x ³
• F: R → [1, ∞) definido por F (x) = x ² + 1
• [0, ∞) → R definido por F (x) = Log (2x + 3)
• F: R → R definido por F (x) = Sec x
• F: R - {0} → R definido por F (x) = 1 / x

Referências

1. Introdução à lógica e ao pensamento crítico. Merrilee H. Salmon. Universidade de Pittsburgh
2. Problemas em Análise Matemática. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universidade de Wroclaw. Polônia.
3. Elementos de análise abstrata. Mícheál O'Searcoid PhD. Departamento de matemática. Faculdade universitária Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Introdução à Lógica e à Metodologia das Ciências Dedutivas. Alfred Tarski, New York Oxford. Imprensa da Universidade de Oxford.
5. Princípios de análise matemática. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Espanha.