- O pêndulo simples e o movimento vibratório harmônico simples
- Pêndulo simples
- Movimento harmônico simples
- Dinâmica do movimento do pêndulo
- Deslocamento, velocidade e aceleração
- Velocidade e aceleração máximas
- conclusão
- Referências
Um pêndulo é um objeto (idealmente uma massa pontual) pendurado por um fio (idealmente sem massa) de um ponto fixo e que oscila graças à força da gravidade, aquela misteriosa força invisível que, entre outras coisas, mantém o universo colado.
O movimento pendular é aquele que ocorre em um objeto de um lado a outro, pendurado em uma fibra, cabo ou fio. As forças envolvidas neste movimento são a combinação da força da gravidade (vertical, em direção ao centro da Terra) e a tensão do fio (direção do fio).
Pêndulo oscilando, mostrando velocidade e aceleração (wikipedia.org)
Isso é o que relógios de pêndulo (daí seu nome) ou balanços de playground fazem. Em um pêndulo ideal, o movimento oscilatório continuaria perpetuamente. Em um pêndulo real, por outro lado, o movimento acaba parando com o tempo devido ao atrito com o ar.
Pensar no pêndulo torna inevitável evocar a imagem do relógio de pêndulo, a memória daquele velho e imponente relógio da casa de campo dos avós. Ou talvez o conto de terror de Edgar Allan Poe, The Well and the Pendulum, cuja narração é inspirada por um dos muitos métodos de tortura usados pela Inquisição espanhola.
A verdade é que os diferentes tipos de pêndulos têm várias aplicações além da medição do tempo, como, por exemplo, determinar a aceleração da gravidade em um determinado local e até mesmo demonstrar a rotação da Terra como o fez o físico francês Jean Bernard Léon. Foucault.
Pêndulo de Foucault. Autor: Veit Froer (wikipedia.org).
O pêndulo simples e o movimento vibratório harmônico simples
Pêndulo simples
O pêndulo simples, embora seja um sistema ideal, permite realizar uma abordagem teórica do movimento de um pêndulo.
Embora as equações do movimento de um pêndulo simples possam ser um tanto complexas, a verdade é que quando a amplitude (A), ou deslocamento da posição de equilíbrio, do movimento é pequena, pode ser aproximada com as equações de um movimento harmônico simples que não são excessivamente complicados.
Movimento harmônico simples
O movimento harmônico simples é um movimento periódico, ou seja, se repete no tempo. Além disso, é um movimento oscilatório cuja oscilação ocorre em torno de um ponto de equilíbrio, ou seja, um ponto em que o resultado líquido da soma das forças aplicadas ao corpo é zero.
Desta forma, uma característica fundamental do movimento do pêndulo é o seu período (T), que determina o tempo que leva para fazer um ciclo completo (ou oscilação completa). O período de um pêndulo é determinado pela seguinte expressão:
onde, l = o comprimento do pêndulo; e, g = valor da aceleração da gravidade.
Uma quantidade relacionada ao período é a frequência (f), que determina o número de ciclos que o pêndulo passa em um segundo. Desta forma, a frequência pode ser determinada a partir do período com a seguinte expressão:
Dinâmica do movimento do pêndulo
As forças que intervêm no movimento são o peso, ou seja, a força da gravidade (P) e a tensão do fio (T). A combinação dessas duas forças é o que causa o movimento.
Enquanto a tensão é sempre direcionada na direção do fio ou corda que une a massa com o ponto fixo e, portanto, não é necessário decompor; o peso é sempre direcionado verticalmente para o centro de massa da Terra, portanto, é necessário decompô-lo em seus componentes tangencial e normal ou radial.
O componente tangencial do peso P t = mg sen θ, enquanto o componente normal do peso é P N = mg cos θ. Este segundo é compensado com a tensão do fio; O componente tangencial do peso, que atua como uma força restauradora, é, portanto, o responsável final pelo movimento.
Deslocamento, velocidade e aceleração
O deslocamento de um movimento harmônico simples e, portanto, do pêndulo, é determinado pela seguinte equação:
x = A ω cos (ω t + θ 0)
onde ω = é a velocidade angular de rotação; t = é a hora; e, θ 0 = é a fase inicial.
Dessa forma, essa equação nos permite determinar a posição do pêndulo a qualquer momento. A este respeito, é interessante destacar algumas relações entre algumas das magnitudes do movimento harmônico simples.
ω = 2 ∏ / T = 2 ∏ / f
Por outro lado, a fórmula que rege a velocidade do pêndulo em função do tempo é obtida derivando o deslocamento em função do tempo, assim:
v = dx / dt = -A ω sin (ω t + θ 0)
Procedendo da mesma forma, obtém-se a expressão da aceleração em relação ao tempo:
a = dv / dt = - A ω 2 cos (ω t + θ 0)
Velocidade e aceleração máximas
Observando tanto a expressão da velocidade quanto da aceleração, pode-se apreciar alguns aspectos interessantes do movimento do pêndulo.
A velocidade atinge seu valor máximo na posição de equilíbrio, momento em que a aceleração é zero, já que, como dito anteriormente, nesse instante a força resultante é zero.
Ao contrário, nos extremos do deslocamento ocorre o oposto, aí a aceleração assume o valor máximo e a velocidade assume o valor nulo.
A partir das equações de velocidade e aceleração, é fácil deduzir tanto o módulo de velocidade máxima quanto o módulo de aceleração máxima. Basta tomar o valor máximo possível tanto para sin (ω t + θ 0) quanto para cos (ω t + θ 0), que em ambos os casos é 1.
│ v max │ = A ω
│ a max │ = A ω 2
O momento em que o pêndulo atinge sua velocidade máxima é quando ele passa pelo ponto de equilíbrio de forças desde então sin (ω t + θ 0) = 1. Pelo contrário, a aceleração máxima é alcançada em ambas as extremidades do movimento desde então cos (ω t + θ 0) = 1
conclusão
Um pêndulo é um objeto fácil de desenhar e aparentemente com um movimento simples, embora a verdade seja que no fundo é muito mais complexo do que parece.
Porém, quando a amplitude inicial é pequena, seu movimento pode ser explicado com equações que não são excessivamente complicadas, uma vez que pode ser aproximado com as equações do movimento vibratório harmônico simples.
Os diferentes tipos de pêndulos existentes têm diferentes aplicações tanto na vida cotidiana quanto no campo científico.
Referências
- Van Baak, Tom (novembro de 2013). "Uma nova e maravilhosa equação do período do pêndulo". Horological Science Newsletter. 2013 (5): 22–30.
- Pêndulo. (nd). Na Wikipedia. Obtido em 7 de março de 2018, em en.wikipedia.org.
- Pendulum (matemática). (nd). Na Wikipedia. Obtido em 7 de março de 2018, em en.wikipedia.org.
- Llorente, Juan Antonio (1826). A história da Inquisição da Espanha. Resumido e traduzido por George B. Whittaker. Universidade de Oxford. pp. XX, prefácio.
- Poe, Edgar Allan (1842). O poço e o pêndulo. Booklassic. ISBN 9635271905.