NÚMERO DE EULER OU NÚMERO E: QUANTO VALE, PROPRIEDADES, APLICAÇÕES - MATEMÁTICAS - 2024

O número de Euler ou número e é uma constante matemática bem conhecida que aparece com frequência em inúmeras aplicações científicas e econômicas, junto com o número π e outros números importantes na matemática.

Uma calculadora científica retorna o seguinte valor para o número e:

Figura 1. O número de Euler aparece com frequência na Science. Fonte: F. Zapata.

e = 2,718281828…

Mas muitos mais decimais são conhecidos, por exemplo:

e = 2,71828182845904523536…

E os computadores modernos encontraram trilhões de casas decimais para o número e.

É um número irracional, o que significa que tem um número infinito de casas decimais sem nenhum padrão de repetição (a sequência 1828 aparece duas vezes no início e não se repete mais).

E também significa que o número e não pode ser obtido como o quociente de dois números inteiros.

História

O número e foi identificado pelo cientista Jacques Bernoulli em 1683 quando estudava o problema dos juros compostos, mas antes havia aparecido indiretamente nas obras do matemático escocês John Napier, que inventou os logaritmos por volta de 1618.

No entanto, foi Leonhard Euler em 1727 quem lhe deu o nome de número e e estudou intensamente suas propriedades. É por isso que também é conhecido como número de Euler e também como base natural para os logaritmos naturais (um expoente) usados ​​atualmente.

Quanto vale o número e?

O número e vale:

e = 2,71828182845904523536…

A reticência significa que existe um número infinito de casas decimais e, de fato, com os computadores de hoje, milhões delas são conhecidas.

Representações do número e

Existem várias maneiras de definir e que descrevemos a seguir:

O número e como limite

Uma das várias formas de expressão do número e é aquela que o cientista Bernoulli encontrou em seus trabalhos sobre juros compostos:

Em que você tem que tornar o valor n um número muito grande.

É fácil verificar, com a ajuda de uma calculadora, que quando n é muito grande, a expressão anterior tende para o valor de e dado acima.

Claro que podemos nos perguntar quão grande n pode ser feito, então vamos tentar números redondos, como estes, por exemplo:

n = 1000; 10.000 ou 100.000

No primeiro caso, obtemos e = 2,7169239…. No segundo e = 2,7181459… e no terceiro está muito mais próximo do valor de e: 2,7182682. Já podemos imaginar que com n = 1.000.000 ou maior, a aproximação será ainda melhor.

Em linguagem matemática, o procedimento de fazer n ficar cada vez mais perto de um valor muito grande é chamado de limite ao infinito e é denotado assim:

Para denotar o infinito, o símbolo "∞" é usado.

O número e como uma soma

Também é possível definir o número e por meio desta operação:

Os números que aparecem no denominador: 1, 2, 6, 24, 120… correspondem à operação n!, Onde:

E por definição 0! = 1.

É fácil verificar que quanto mais adendos forem adicionados, mais precisamente o número e será alcançado.

Vamos fazer alguns testes com a calculadora, adicionando mais e mais adendos:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806

Quanto mais termos adicionados à soma, mais o resultado se assemelha a e.

Os matemáticos desenvolveram uma notação compacta para essas somas envolvendo muitos termos, usando o símbolo de soma Σ:

Esta expressão é lida como esta "soma de n = 0 ao infinito de 1 entre n fatorial".

O número e do ponto de vista geométrico

O número e tem uma representação gráfica relacionada à área sob o gráfico da curva:

y = 1 / x

Quando os valores de x estão entre 1 e e, essa área é igual a 1, conforme ilustrado na figura a seguir:

Figura 2. Representação gráfica do número e: a área sob a curva 1 / x, entre x = 1 ex = e vale 1. Fonte: F. Zapata.

Propriedades do número e

Algumas das propriedades do número e são:

-É irracional, ou seja, não pode ser obtido simplesmente dividindo dois números inteiros.

-O número e também é um número transcendente, o que significa que e não é uma solução para nenhuma equação polinomial.

-Está relacionado com outros quatro números famosos no campo da matemática, a saber: π, i, 1 e 0, através da identidade de Euler:

-Os chamados números complexos podem ser expressos através de e.

- Constitui a base dos logaritmos naturais ou naturais da atualidade (a definição original de John Napier difere um pouco).

-É o único número cujo logaritmo natural é igual a 1, ou seja:

Formulários

Estatisticas

O número e aparece com muita frequência no campo da probabilidade e estatística, aparecendo em várias distribuições, como normal ou gaussiana, de Poisson e outras.

Engenharia

Na engenharia é frequente, pois a função exponencial y = e ^x está presente na mecânica e no eletromagnetismo, por exemplo. Entre as inúmeras aplicações podemos citar:

-Um cabo ou corrente que fica preso pelas extremidades, adota a forma da curva dada por:

y = (e ^x + e ^-x) / 2

- Um capacitor C inicialmente descarregado, que está conectado em série a um resistor R e a uma fonte de tensão V para carregar, adquire uma certa carga Q em função do tempo t dado por:

Q (t) = CV (1-e ^{-t / RC})

biologia

A função exponencial y = Ae ^Bx, com A e B constantes, é usada para modelar o crescimento celular e o crescimento bacteriano.

Fisica

Na física nuclear, o decaimento radioativo e a determinação da idade são modelados por datação por radiocarbono.

Economia

No cálculo dos juros compostos, o número e surge naturalmente.

Suponha que você tenha uma certa quantia de dinheiro P _o para investir a uma taxa de juros de 1% ao ano.

Se você deixar o dinheiro por 1 ano, após esse tempo você terá:

Depois de mais um ano sem tocá-lo, você terá:

E assim por n anos:

Agora vamos lembrar uma das definições de e:

Parece um pouco com a expressão de P, então deve haver um relacionamento.

Vamos distribuir a taxa de juros nominal i em n períodos de tempo, desta forma a taxa de juros composta será i / n:

Essa expressão se parece um pouco mais com o nosso limite, mas ainda não é exatamente a mesma.

No entanto, após algumas manipulações algébricas, pode-se mostrar que, fazendo esta mudança de variável:

Nosso dinheiro P torna-se:

E o que está entre colchetes, mesmo que seja escrito com a letra h, é igual ao argumento do limite que define o número e, faltando apenas o limite.

Vamos fazer h → ∞, e o que está entre as chaves se torna o número e. Isso não significa que teremos que esperar um tempo infinitamente longo para retirar nosso dinheiro.

Se olharmos de perto, fazendo h = n / i e tendendo a ∞, o que realmente fizemos foi espalhar a taxa de juros por períodos muito, muito pequenos de tempo:

i = n / h

Isso é chamado de composição contínua. Nesse caso, a quantidade de dinheiro é facilmente calculada assim:

Onde i é a taxa de juros anual. Por exemplo, ao depositar € 12 a 9% ao ano, por meio de capitalização contínua, após um ano você tem:

Com um lucro de 1,13 €.

Referências

1. Aprecie a matemática. Juros compostos: composição periódica. Recuperado de: enjoylasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Mathematics 1st. Diversificado. Edições CO-BO.
3. García, M. O número e no cálculo elementar. Recuperado de: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.