NÚMEROS PRIMOS: CARACTERÍSTICAS, EXEMPLOS, EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2025

Os números primos, também chamados de primos absolutos, são aqueles números naturais que só são divisíveis por eles próprios e 1. Esta categoria é composta por 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e muitos mais.

Em vez disso, um número composto é divisível por si mesmo, por 1 e pelo menos um outro número. Temos, por exemplo, 12, que é divisível por 1, 2, 4, 6 e 12. Por convenção, 1 não está incluído na lista de números primos nem na lista de compostos.

Figura 1. Alguns números primos. Fonte: Wikimedia Commons.

O conhecimento dos números primos remonta aos tempos antigos; os antigos egípcios já os usavam e certamente eram conhecidos há muito tempo.

Esses números são muito importantes, pois qualquer número natural pode ser representado pelo produto dos números primos, sendo essa representação única, exceto na ordem dos fatores.

Esse fato é totalmente estabelecido em um teorema denominado Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que os números que não são primos são necessariamente compostos de produtos de números que são.

Características dos números primos

Aqui estão as principais características dos números primos:

-São infinitos, pois por maior que seja um número primo, você sempre encontrará um maior.

-Se um número primo p não divide exatamente outro número a, então diz-se que p e a são primos entre si. Quando isso acontece, o único divisor comum que ambos têm é 1.

Não é necessário que a seja um primo absoluto. Por exemplo, 5 é primo e, embora 12 não seja, ambos os números são primos um para o outro, pois ambos têm 1 como divisor comum.

-Quando um número primo p divide uma potência do número n, ele também divide n. Vamos considerar 100, que é uma potência de 10, especificamente 10 ². Acontece que 2 divide 100 e 10.

-Todos os números primos são ímpares, exceto 2, portanto seu último dígito é 1, 3, 7 ou 9. 5 não está incluído, porque embora seja ímpar e primo, nunca é o número final de outro número primo. Na verdade, todos os números que terminam em 5 são múltiplos disso e, portanto, não são primos.

-Se p é primo e divisor do produto de dois números ab, então p divide um deles. Por exemplo, o número primo 3 divide o produto 9 x 11 = 99, já que 3 é um divisor de 9.

Como saber se um número é primo

Primalidade é o nome dado à qualidade de ser principal. Pois bem, o matemático francês Pierre de Fermat (1601-1665) encontrou uma forma de verificar a primalidade de um número, no chamado pequeno teorema de Fermat, que diz:

"Dado um número natural primo p e qualquer número natural a maior que 0, é verdade que a ^p - a é um múltiplo de p, desde que p seja primo".

Podemos corroborar isso usando números pequenos, por exemplo, suponha que p = 4, que já sabemos não é primo e já = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

O número 1290 não é exatamente divisível por 4, portanto, 4 não é um número primo.

Vamos fazer o teste agora com p = 5, que é primo e ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 é divisível por 5, já que qualquer número que termina em 0 ou 5 é. Na verdade, 7760/5 = 1554. Como o pequeno teorema de Fermat é válido, podemos garantir que 5 é um número primo.

A prova por meio do teorema é efetiva e direta com números pequenos, nos quais a operação é fácil de realizar, mas o que fazer se nos for pedido para descobrir a primalidade de um grande número?

Nesse caso, o número é dividido sucessivamente entre todos os números primos menores, até que uma divisão exata seja encontrada ou o quociente seja menor que o divisor.

Se alguma divisão for exata, significa que o número é composto e se o quociente for menor que o divisor, significa que o número é primo. Vamos colocá-lo em prática no exercício resolvido 2.

Maneiras de encontrar um número primo

Existem infinitos números primos e não existe uma fórmula única para determiná-los. No entanto, olhando para alguns números primos como estes:

3, 7, 31, 127…

Observa-se que são da forma 2 ⁿ - 1, com n = 2, 3, 5, 7, 9… Certificamo-nos disso:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Mas não podemos garantir que em geral 2 ⁿ - 1 é primo, porque existem alguns valores de n para os quais não funciona, por exemplo 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

E o número 15 não é primo, pois termina em 5. No entanto, um dos maiores primos conhecidos, encontrado por cálculos de computador, tem a forma 2 ⁿ - 1 com:

n = 57.885.161

A fórmula de Mersenne nos assegura que 2 ^p - 1 é sempre primo, contanto que p também seja primo. Por exemplo, 31 é primo, então é certo que 2 ³¹ - 1 também é primo:

2 ³¹ - 1 = 2.147.483.647

No entanto, a fórmula permite determinar apenas alguns números primos, não todos.

Fórmula de Euler

O polinômio a seguir permite encontrar números primos, desde que n esteja entre 0 e 39:

P (n) = n ² + n + 41

Mais tarde, na seção de exercícios resolvidos, há um exemplo de seu uso.

A peneira de Eratóstenes

Eratóstenes foi um físico e matemático da Grécia Antiga que viveu no século III aC Ele desenvolveu um método gráfico para encontrar os números primos que podemos colocar em prática com números pequenos, é chamado de peneira de Eratóstenes (uma peneira é como uma peneira).

-Os números são colocados em uma tabela como a mostrada na animação.

-Os números pares são então riscados, exceto por 2 que sabemos ser primo. Todos os outros são múltiplos disso e, portanto, não são primos.

-Os múltiplos de 3, 5, 7 e 11 também são marcados, excluindo todos porque sabemos que são primos.

-Os múltiplos de 4, 6, 8, 9 e 10 já estão marcados, pois são compostos e, portanto, múltiplos de alguns dos primos indicados.

-Finalmente, os números que permanecem sem marcação são primos.

Figura 2. Animação da peneira de Eratóstenes. Fonte: Wikimedia Commons.

Exercícios

- Exercício 1

Usando o polinômio de Euler para números primos, encontre 3 números maiores que 100.

Solução

Este é o polinômio que Euler propôs para encontrar números primos, que funciona para valores de n entre 0 e 39.

P (n) = n ² + n + 41

Por tentativa e erro, selecionamos um valor de n, por exemplo n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Uma vez que n = 8 produz um número primo maior que 100, avaliamos o polinômio para n = 9 e n = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Exercício 2

Descubra se os seguintes números são primos:

a) 13

b) 191

Solução para

O 13 é pequeno o suficiente para usar o pequeno teorema de Fermat e a ajuda da calculadora.

Usamos a = 2 para que os números não sejam muito grandes, embora a = 3, 4 ou 5 também possam ser usados:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 é divisível por 2, uma vez que é par, portanto, 13 é primo. O leitor pode corroborar isso fazendo o mesmo teste com a = 3.

Solução b

191 é muito grande para provar com o teorema e uma calculadora comum, mas podemos encontrar a divisão entre cada número primo. Omitimos a divisão por 2 porque 191 não é par e a divisão não será exata ou o quociente será menor que 2.

Tentamos dividir por 3:

191/3 = 63.666…

E não dá exatamente, nem é o quociente menor que o divisor (63.666… é maior que 3)

Continuamos assim tentando dividir 191 entre os primos 5, 7, 11, 13 e nem a divisão exata é alcançada, nem o quociente menor que o divisor. Até que seja dividido por 17:

191/17 = 11, 2352…

Como não é exato e 11,2352… é menor que 17, o número 191 é primo.

Referências

1. Baldor, A. 1986. Arithmetic. Codex de edições e distribuições.
2. Prieto, C. Os números primos. Recuperado de: paginas.matem.unam.mx.
3. Propriedades dos números primos. Recuperado de: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Números primos: como encontrá-los com a peneira de Eratóstenes. Recuperado de: smartick.es.
5. Wikipedia. Número primo. Recuperado de: es.wikipedia.org.