NÚMEROS TRANSCENDENTES: O QUE SÃO, FÓRMULAS, EXEMPLOS, EXERCÍCIOS - MATEMÁTICAS - 2024

Os números transcendentais são aqueles que não podem ser obtidos como resultado de uma equação polinomial. O oposto de um número transcendente é um número algébrico, que são soluções de uma equação polinomial do tipo:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Onde os coeficientes a _n, a _n-1,….. a ₂, a ₁, a ₀ são números racionais, chamados de coeficientes do polinômio. Se um número x for uma solução para a equação anterior, então esse número não é transcendente.

Figura 1. Dois números de grande importância na ciência são números transcendentes. Fonte: publicdomainpictures.net.

Vamos analisar alguns números e ver se são transcendentes ou não:

a) 3 não é transcendente porque é uma solução de x - 3 = 0.

b) -2 não pode ser transcendente porque é uma solução de x + 2 = 0.

c) ⅓ é uma solução de 3x - 1 = 0

d) Uma solução da equação x ² - 2x + 1 = 0 é √2 -1, de modo que o número por definição não é transcendente.

e) Nem √2 porque é o resultado da equação x ² - 2 = 0. Ao elevar ao quadrado √2, resulta em 2, que subtraído de 2 é igual a zero. Portanto, √2 é um número irracional, mas não é transcendente.

O que são números transcendentes?

O problema é que não existe uma regra geral para obtê-los (diremos mais tarde), mas alguns dos mais famosos são o número pi e o número de Neper, denotados respectivamente por: π e e.

O número π

O número π surge naturalmente ao observar que o quociente matemático entre o perímetro P de um círculo e seu diâmetro D, independentemente de ser um círculo pequeno ou grande, sempre dá o mesmo número, denominado pi:

π = P / D ≈ 3,14159 ……

Isso significa que se o diâmetro da circunferência for tomado como unidade de medida, para todos eles, grandes ou pequenos, o perímetro será sempre P = 3,14… = π, como pode ser visto na animação da figura 2.

Figura 2. O comprimento do perímetro de um círculo é pi vezes o comprimento do diâmetro, com pi sendo aproximadamente 3,1416.

Para determinar mais decimais, é necessário medir P e D com maior precisão e depois calcular o quociente, o que foi feito matematicamente. A conclusão é que os decimais do quociente não têm fim e nunca se repetem, portanto o número π além de ser transcendente também é irracional.

Um número irracional é um número que não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros.

Sabe-se que todo número transcendente é irracional, mas não é verdade que todos os números irracionais são transcendentes. Por exemplo, √2 é irracional, mas não é transcendente.

Figura 3. Os números transcendentes são irracionais, mas o inverso não é verdadeiro.

O número e

O número transcendente e é a base dos logaritmos naturais e sua aproximação decimal é:

e ≈ 2.718281828459045235360….

Se você quisesse escrever exatamente o número e, seria necessário escrever decimais infinitos, pois todo número transcendente é irracional, como dito antes.

Os primeiros dez dígitos de e são fáceis de lembrar:

2,7 1828 1828 e embora pareça seguir um padrão repetitivo, isso não se consegue em casas decimais de ordem superior a nove.

Uma definição mais formal de e é a seguinte:

Isso significa que o valor exato de e é obtido realizando a operação indicada nesta fórmula, quando o número natural n tende para o infinito.

Isso explica por que só podemos obter aproximações de e, já que não importa quão grande seja o número n colocado, um n maior sempre pode ser encontrado.

Vamos encontrar algumas aproximações por conta própria:

-Quando n = 100 então (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481 que dificilmente coincide no primeiro decimal com o valor “verdadeiro” de e.

-Se você escolher n = 10.000, você tem (1 + 1 / 10.000) ^10.000 = 2.71815, que coincide com o valor “exato” de e nas três primeiras casas decimais.

Este processo teria que ser seguido infinitamente para obter o valor "verdadeiro" de e. Acho que não temos tempo para isso, mas vamos tentar mais um:

Vamos usar n = 100.000:

(1 + 1 / 100.000) ^100.000 = 2,7182682372

Isso tem apenas quatro casas decimais que correspondem ao valor considerado exato.

O importante é entender que quanto maior for o valor de n escolhido para calcular e _n, mais próximo estará do valor verdadeiro. Mas esse valor verdadeiro só terá quando n for infinito.

Figura 4. Mostra-se graficamente como quanto maior o valor de n, mais próximo de e, mas para chegar ao valor exato n deve ser infinito.

Outros números importantes

Além desses números famosos, existem outros números transcendentes, por exemplo:

- 2 ^√2

-O número de Champernowne na base 10:

C_10 = 0,123456789101112131415161718192021….

-O número de Champernowne na base 2:

C_2 = 0,1101110010110111….

-O número gama γ ou constante de Euler-Mascheroni:

γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Que é obtido fazendo o seguinte cálculo:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Para quando n é muito grande. Para ter o valor exato do número Gama, seria necessário fazer o cálculo com n infinito. Algo semelhante ao que fizemos acima.

E existem muitos outros números transcendentes. O grande matemático Georg Cantor, nascido na Rússia e vivendo entre 1845 e 1918, mostrou que o conjunto dos números transcendentes é muito maior do que o conjunto dos números algébricos.

Fórmulas onde o número transcendente π aparece

O perímetro da circunferência

P = π D = 2 π R, onde P é o perímetro, D o diâmetro e R o raio da circunferência. Deve ser lembrado que:

-O diâmetro da circunferência é o segmento mais longo que une dois pontos da mesma e que sempre passa pelo seu centro,

-O raio tem a metade do diâmetro e é o segmento que vai do centro até a borda.

Área de um círculo

A = π R ² = ¼ π D ²

Superfície de uma esfera

S = 4 π R ^2.

Sim. Embora possa não parecer, a superfície de uma esfera é a mesma de quatro círculos com o mesmo raio da esfera.

Volume da esfera

V = 4/3 π R ³

Exercícios

- Exercício 1

A pizzaria EXÓTICA vende pizzas de três diâmetros: pequena 30 cm, média 37 cm e grande 45 cm. Um menino está com muita fome e percebeu que duas pizzas pequenas custam o mesmo que uma grande. O que será melhor para ele, comprar duas pizzas pequenas ou uma grande?

Figura 5.- A área de uma pizza é proporcional ao quadrado do raio, sendo pi a constante de proporcionalidade. Fonte: Pixabay.

Solução

Quanto maior a área, maior a quantidade de pizza, por isso a área de uma pizza grande será calculada e comparada com a de duas pizzas pequenas:

Área da pizza grande = ¼ π D ² = ¼ ⋅3,1416⋅45 ² = 1590,44 cm ²

Área da pizza pequena = ¼ π d ² = ¼ ⋅3,1416⋅30 ² = 706,86 cm ²

Portanto, duas pizzas pequenas terão uma área de

2 x 706,86 = 1413,72 cm ².

É claro: você terá uma quantidade maior de pizza comprando uma única grande do que duas pequenas.

- Exercício 2

A pizzaria “EXÓTICA” vende também uma pizza hemisférica com raio de 30 cm pelo mesmo preço de uma retangular de 30 x 40 cm de cada lado. Qual desses você escolheria?

Figura 6.- A superfície de um hemisfério é o dobro da superfície circular da base. Fonte: F. Zapata.

Solução

Conforme mencionado na seção anterior, a superfície de uma esfera é quatro vezes maior que a de um círculo do mesmo diâmetro, portanto, um hemisfério de 30 cm de diâmetro terá:

Pizza hemisférica de 30 cm: 1413,72 cm ² (duas vezes uma circular do mesmo diâmetro)

Pizza retangular: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ².

A pizza hemisférica tem uma área maior.

Referências

1. Fernández J. O número e. Origem e curiosidades. Recuperado de: soymatematicas.com
2. Aprecie a matemática. Número de Euler. Recuperado de: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Mathematics 1st. Diversificado. Edições CO-BO.
4. García, M. O número e no cálculo elementar. Recuperado de: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. Número PI. Recuperado de: wikipedia.com
6. Wikipedia. Números transcendentes. Recuperado de: wikipedia.com