O ângulo inscrito de um círculo é aquele que tem seu vértice no círculo e seus raios são secantes ou tangentes a ele. Como consequência, o ângulo inscrito será sempre convexo ou plano.
Na figura 1 estão representados vários ângulos inscritos em suas respectivas circunferências. O ângulo ∠EDF é inscrito tendo seu vértice D na circunferência e seus dois raios =.
Em um triângulo isósceles, os ângulos adjacentes à base são iguais, portanto ∠BCO = ∠ABC = α. Por outro lado ∠COB = 180º - β.
Considerando a soma dos ângulos internos do triângulo COB, temos:
α + α + (180º - β) = 180º
Daí se segue que 2 α = β, ou o que é equivalente: α = β / 2. Isso está de acordo com o que afirma o teorema 1: a medida do ângulo inscrito é a metade do ângulo central, se ambos os ângulos subtendem o mesmo acorde.
Demonstração 1b
Figura 6. Construção auxiliar para mostrar que α = β / 2. Fonte: F. Zapata com Geogebra.
Neste caso, temos um ângulo inscrito ∠ABC, no qual o centro O do círculo está dentro do ângulo.
Para provar o Teorema 1 neste caso, desenhe o raio auxiliar).push ({});
Da mesma forma, os ângulos centrais β 1 e β 2 são adjacentes ao referido raio. Assim, temos a mesma situação que mostra 1a, de modo que pode ser dito que α 2 = β 2 /2 e ct 1 = β 1 /2. Como α = α 1 + α 2 e β = β 1 + β 2 têm, portanto, que α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2) / 2 = β / dois.
Em conclusão α = β / 2, que cumpre o teorema 1.
- Teorema 2
Figura 7. Ângulos inscritos de igual medida α, pois subtendem o mesmo arco A⌒C. Fonte: F. Zapata com Geogebra.
- Teorema 3
Os ângulos inscritos que subtendem acordes da mesma medida são iguais.
Figura 8. Ângulos inscritos que subtendem cordas de igual medida têm igual medida β. Fonte: F. Zapata com Geogebra.
Exemplos
- Exemplo 1
Mostre que o ângulo inscrito que subtende o diâmetro é um ângulo reto.
Solução
O ângulo central ∠AOB associado ao diâmetro é um ângulo plano, cuja medida é 180º.
Segundo o teorema 1, todo ângulo inscrito na circunferência que subtende a mesma corda (no caso o diâmetro), tem como medida a metade do ângulo central que subtende a mesma corda, que para o nosso exemplo é 180º / 2 = 90º.
Figura 9. Todo ângulo inscrito que subtende ao diâmetro é um ângulo reto. Fonte: F. Zapata com Geogebra.
- Exemplo 2
A linha (BC) tangente em A à circunferência C, determina o ângulo inscrito ∠BAC (ver figura 10).
Verifique se o Teorema 1 dos ângulos inscritos é cumprido.
Figura 10. Ângulo inscrito BAC e seu ângulo convexo central AOA. Fonte: F. Zapata com Geogebra.
Solução
O ângulo ∠BAC é inscrito porque seu vértice está na circunferência e seus lados [AB) e [AC) são tangentes à circunferência, então a definição do ângulo inscrito é satisfeita.
Por outro lado, o ângulo inscrito ∠BAC subtende o arco A⌒A, que é toda a circunferência. O ângulo central que subtende o arco A⌒A é um ângulo convexo cuja medida é o ângulo total (360º).
O ângulo inscrito que subtende todo o arco mede a metade do ângulo central associado, ou seja, ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
Com tudo isso, verifica-se que este caso particular cumpre o teorema 1.
Referências
- Baldor. (1973). Geometria e trigonometria. Editora cultural da América Central.
- EA (2003). Elementos de geometria: com exercícios e geometria de compasso. University of Medellin.
- Geometria 1º ESO. Ângulos na circunferência. Recuperado de: edu.xunta.es/
- Toda ciência. Exercícios propostos de ângulos na circunferência. Recuperado de: francesphysics.blogspot.com
- Wikipedia. Ângulo inscrito. Recuperado de: es.wikipedia.com