QUAL É O NÚMERO PRANDTL? (VALORES EM GASES E LÍQUIDOS) - FISICA - 2025

O número de Prandtl, abreviado Pr, é uma grandeza adimensional que relaciona a difusividade do momento, através da viscosidade cinemática ν (letra grega que se lê “nu”) de um fluido, com sua difusividade térmica α na forma de quociente:

Figura 1. O engenheiro alemão Ludwig Prandtl em seu laboratório em Hannover em 1904. Fonte: Wikimedia Commons.

Em termos do coeficiente de viscosidade do fluido ou viscosidade dinâmica μ, o calor específico do fluido C _p e seu coeficiente de condutividade térmica K, o número de Prandtl também é expresso matematicamente da seguinte forma:

Esta quantidade recebeu o nome do cientista alemão Ludwig Prandtl (1875–1953), que fez grandes contribuições para a mecânica dos fluidos. O número de Prandtl é um dos números importantes para modelar o fluxo de fluidos e, em particular, a forma como o calor é transferido neles por convecção.

Da definição dada, segue-se que o número de Prandtl é uma característica do fluido, pois depende de suas propriedades. Por meio desse valor, a capacidade do fluido de transferir momentum e calor pode ser comparada.

Convecção natural e forçada em fluidos

O calor é transmitido por meio de vários mecanismos: convecção, condução e radiação. Quando há movimento no nível macroscópico do fluido, ou seja, há movimento maciço do fluido, o calor é rapidamente transmitido por meio do mecanismo de convecção.

Por outro lado, quando o mecanismo preponderante é a condução, a movimentação do fluido ocorre em nível microscópico, seja atômico ou molecular, dependendo do tipo de fluido, mas sempre mais lentamente do que por convecção.

A velocidade do fluido e o regime de fluxo que ele possui - laminar ou turbulento - também influenciam nisso, pois quanto mais rápido ele se move, mais rápida é a transferência de calor.

A convecção ocorre naturalmente quando o fluido se move devido a uma diferença de temperatura, por exemplo, quando uma massa de ar quente sobe e outra de ar frio desce. Neste caso, falamos de convecção natural.

Mas a convecção também pode ser forçada usando um ventilador para forçar o fluxo de ar, ou uma bomba para colocar a água em movimento.

Já o fluido pode circular através de um tubo fechado (fluido confinado), um tubo aberto (como um canal por exemplo) ou uma superfície aberta.

Em todas essas situações, o número de Prandtl pode ser usado para modelar a transmissão de calor, junto com outros números importantes na mecânica dos fluidos, como número de Reynolds, número de Mach, número de Grashoff, número de Nusselt, a aspereza ou aspereza do tubo e muito mais.

Definições importantes na transferência de calor em um fluido

Além das propriedades do fluido, a geometria da superfície também interfere no transporte de calor, bem como o tipo de fluxo: laminar ou turbulento. Como o número de Prandtl envolve várias definições, aqui está um breve resumo das mais importantes:

Viscosidade dinamica

É a resistência natural de um fluido ao escoamento, devido às diferentes interações entre suas moléculas. É denotado µ e suas unidades no Sistema Internacional (SI) são Ns / m ² (newton x segundo / metro quadrado) ou Pa.s (pascal x segundo), denominado poise. É muito mais alto em líquidos do que em gases e depende da temperatura do fluido.

Viscosidade cinemática

É denotado como ν (letra grega que se lê "nu") e é definido como a razão entre a viscosidade dinâmica μ e a densidade ρ de um fluido:

Suas unidades são m ² / s.

Condutividade térmica

É definida como a capacidade dos materiais de conduzir calor através deles. É uma quantidade positiva e suas unidades são Wm / K (watt x metro / kelvin).

Calor específico

Quantidade de calor que deve ser adicionada a 1 quilograma de substância para elevar sua temperatura em 1 ºC.

Difusividade térmica

É definido como:

As unidades de difusividade térmica são iguais às da viscosidade cinemática: m ² / s.

Descrição matemática da transferência de calor

Existe uma equação matemática que modela a transmissão de calor pelo fluido, considerando que suas propriedades como viscosidade, densidade e outras permanecem constantes:

T é a temperatura, uma função do tempo t e do vetor posição r, enquanto α é a difusividade térmica acima mencionada e Δ é o operador Laplaciano. Em coordenadas cartesianas, seria assim:

Rugosidade

Aspereza e irregularidades na superfície por onde circula o fluido, por exemplo na face interna do tubo por onde circula a água.

Fluxo laminar

Refere-se a um fluido que flui em camadas, de maneira suave e ordenada. As camadas não se misturam e o fluido se move ao longo das chamadas linhas de fluxo.

Figura 2. A coluna de fumaça tem um regime laminar no início, mas depois aparecem volutas indicativas de um regime turbulento. Fonte: Pixabay.

Fluxo turbulento

Nesse caso, o fluido se move desordenadamente e suas partículas formam redemoinhos.

Valores do número de Prandtl em gases e líquidos

Em gases, a ordem de magnitude da viscosidade cinemática e difusividade térmica é dada pelo produto da velocidade média das partículas e do caminho livre médio. O último é o valor da distância média percorrida por uma molécula de gás entre duas colisões.

Ambos os valores são muito semelhantes, portanto, o número de Prandtl Pr é próximo de 1. Por exemplo, para ar Pr = 0,7. Isso significa que tanto o momento quanto o calor são transmitidos de forma aproximadamente igualmente rápida em gases.

Em metais líquidos, entretanto, Pr é menor que 1, já que os elétrons livres conduzem o calor muito melhor do que o momento. Nesse caso, ν é menor que α e Pr <1. Um bom exemplo é o sódio líquido, usado como refrigerante em reatores nucleares.

A água é um condutor de calor menos eficiente, com Pr = 7, assim como os óleos viscosos, cujo número de Prandtl é muito maior, podendo chegar a 100.000 para os óleos pesados, o que significa que neles se transmite calor com muito lento, em comparação com o momento.

Tabela 1. Ordem de magnitude do número de Prandtl para diferentes fluidos

Fluido	ν (m 2 / s)	α (m 2 / s)	Pr
Manto terrestre	10 17	10 -6	10 23
Camadas internas do Sol	10 -2	10 2	10 -4
Atmosfera da terra	10 -5	10 -5	1
oceano	10 -6	10 -7	10

Exemplo

As difusividades térmicas da água e do ar a 20 ºC são respectivamente 0,00142 e 0,208 cm ² / s. Encontre os números de Prandtl para água e ar.

Solução

A definição dada no início se aplica, uma vez que a afirmação fornece os valores de α:

E quanto aos valores de ν, eles podem ser encontrados em uma tabela de propriedades dos fluidos, sim, devemos ter cuidado para que ν esteja nas mesmas unidades de α e que sejam válidos a 20 ºC:

ν _ar = 1.51x 10 ^-5 m ² / s = 0,151 centímetros ² / s; ν _água = 1,02 x 10 ^-6 m ² / s = 0,0102 centímetros ² / s

Portanto:

Pr (ar) = 0,151 / 0,208 = 0,726; Pr (água) = 0,0102 / 0,00142 = 7,18

Referências

1. Quimica Organica. Tópico 3: Convecção. Recuperado de: pi-dir.com.
2. López, JM 2005. Solved Problems of Fluid Mechanics. Série Schaum. McGraw Hill.
3. Shaugnessy, E. 2005. Introdução à Mecânica dos Fluidos. Imprensa da Universidade de Oxford.
4. Thorne, K. 2017. Modern Classical Physics. Princeton e Oxford University Press.
5. UNET. Fenômenos de transporte. Recuperado de: unet.edu.ve.
6. Wikipedia. Número de Prandtl. Recuperado de: en.wikipedia.org.
7. Wikipedia. Condutividade térmica. Recuperado de: en.wikipedia.org.
8. Wikipedia. Viscosidade. Recuperado de: es.wikipedia.org.