- Exemplos de adição de polinômios
- Adicione dois ou mais polinômios com mais de uma variável
- Exercícios de adição polinomial
- - Exercício 1
- Solução
- - Exercício 2
- Solução para
- Referências
A soma de polinômios é a operação que consiste em adicionar dois ou mais polinômios, resultando em outro polinômio. Para realizá-lo, é necessário somar os termos da mesma ordem de cada um dos polinômios e indicar a soma resultante.
Vamos primeiro revisar brevemente o significado de "termos da mesma ordem". Qualquer polinômio é feito de adições e / ou subtrações de termos.
Figura 1. Para adicionar dois polinômios é necessário ordená-los e depois reduzir os termos semelhantes. Fonte: Pixabay + Wikimedia Commons.
Os termos podem ser produtos de números reais e uma ou mais variáveis, representadas por letras, por exemplo: 3x 2 e -√5.a 2 bc 3 são termos.
Bem, os termos da mesma ordem são aqueles que têm o mesmo expoente ou potência, embora possam ter um coeficiente diferente.
-Termos de igual ordem são: 5x 3, √2 x 3 e -1 / 2x 3
-Termos de ordens diferentes: -2x -2, 2xy -1 e √6x 2 e
É importante lembrar que apenas termos da mesma ordem podem ser somados ou subtraídos, operação conhecida como redução. Caso contrário, a soma é simplesmente indicada à esquerda.
Uma vez que o conceito de termos da mesma ordem tenha sido esclarecido, os polinômios são adicionados seguindo estas etapas:
- Ordene os primeiros polinômios a serem adicionados, todos da mesma maneira, de maneira crescente ou decrescente, ou seja, com potências de menor para maior ou vice-versa.
- Completo, caso falte alguma alimentação na sequência.
- Reduza os termos semelhantes.
- Indique a soma resultante.
Exemplos de adição de polinômios
Começaremos adicionando dois polinômios com uma única variável chamada x, por exemplo os polinômios P (x) e Q (x) dados por:
P (x) = 2x 2 - 5x 4 + 2x –x 5 - 3x 3 +12
Q (x) = x 5 - 25 x + x 2
Seguindo as etapas descritas, você começa ordenando-as em ordem decrescente, que é a maneira mais comum:
P (x) = –x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 2x 2 + 2x +12
Q (x) = x 5 + x 2 - 25x
O polinômio Q (x) não está completo, vê-se que faltam potências com os expoentes 4, 3 e 0. Este é simplesmente o termo independente, aquele sem letra.
Q (x) = x 5 + 0x 4 + 0x 3 + x 2 - 25x + 0
Depois que essa etapa for concluída, eles estão prontos para adicionar. Você pode adicionar os termos semelhantes e, em seguida, indicar a soma, ou colocar os polinômios ordenados um abaixo do outro e reduzir por colunas, assim:
- x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 2x 2 + 2x +12
+ x 5 + 0x 4 + 0x 3 + x 2 - 25x + 0 +
--------------------
0x 5 –5x 4 - 3x 3 + 3x 2 - 23x + 12 = P (x) + Q (x)
É importante observar que quando adicionado, é feito algebricamente respeitando a regra dos sinais, desta forma 2x + (-25 x) = -23x. Ou seja, se os coeficientes têm um sinal diferente, eles são subtraídos e o resultado carrega o sinal do maior.
Adicione dois ou mais polinômios com mais de uma variável
Quando se trata de polinômios com mais de uma variável, escolhe-se uma delas para ordená-la. Por exemplo, suponha que você peça para adicionar:
R (x, y) = 5x 2 - 4y 2 + 8xy - 6y 3
E:
T (x, y) = ½ x 2 - 6y 2 - 11xy + x 3 e
Uma das variáveis é escolhida, por exemplo x para solicitar:
R (x, y) = 5x 2 + 8xy - 6y 3 - 4y 2
T (x, y) = + x 3 y + ½ x 2 - 11xy - 6y 2
Imediatamente os termos ausentes são preenchidos, de acordo com os quais cada polinômio possui:
R (x, y) = 0x 3 y + 5x 2 + 8xy - 6y 3 - 4y 2
T (x, y) = + x 3 y + ½ x 2 - 11xy + 0y 3 - 6y 2
E vocês dois estão prontos para reduzir termos semelhantes:
0x 3 y + 5x 2 + 8xy - 6y 3 - 4y 2
+ x 3 y + ½ x 2 - 11xy + 0y 3 - 6y 2 +
---------------------–
+ x 3 y + 11 / 2x 2 - 3xy - 6y 3 - 10y 2 = R (x, y) + T (x, y)
Exercícios de adição polinomial
- Exercício 1
Na seguinte soma de polinômios, indique o termo que deve ir no espaço em branco para obter a soma polinomial:
-5x 4 + 0x 3 + 2x 2 + 1
x 5 + 2x 4 - 21x 2 + 8x - 3
2x 5 + 9x 3 -14x
----------------
-6x 5 + 10x 4 -0x 3 + 5x 2 - 11x + 21
Solução
Para obter -6x 5, é necessário um termo da forma ax 5, de modo que:
a + 1+ 2 = -6
Portanto:
a = -6-1-2 = -9
E o termo de pesquisa é:
-9x 5
-Nós procedemos de maneira semelhante para encontrar o resto dos termos. Aqui está aquele para o expoente 4:
-5 + 2 + a = 10 → a = 10 + 5-2 = 13
O termo ausente é: 13x 4.
-Para as potências de x 3 é imediato que o termo deve ser -9x 3, desta forma o coeficiente do termo cúbico é 0.
- Quanto às potências quadradas: a + 8 - 14 = -11 → a = -11 - 8 + 14 = -5 e o termo é -5x 2.
-O termo linear é obtido por meio de a +8 -14 = -11 → a = -11 + 14 - 8 = -5, sendo o termo ausente -5x.
-Finalmente, o termo independente é: 1 -3 + a = -21 → a = -19.
- Exercício 2
Um terreno plano é cercado como mostrado na figura. Encontre uma expressão para:
a) O perímetro e
b) Sua área, nos comprimentos indicados:
Figura 2. Um terreno plano é cercado com a forma e as dimensões indicadas. Fonte: F. Zapata.
Solução para
O perímetro é definido como a soma dos lados e contornos da figura. Começando no canto esquerdo inferior, no sentido horário, temos:
Perímetro = y + x + comprimento do semicírculo + z + comprimento da diagonal + z + z + x
O semicírculo tem um diâmetro igual a x. Como o raio é a metade do diâmetro, você deve:
Raio = x / 2.
A fórmula para o comprimento de uma circunferência completa é:
L = 2π x Raio
Assim:
Comprimento do semicírculo = ½. 2π (x / 2) = πx / 2
Por sua vez, a diagonal é calculada com o teorema de Pitágoras aplicado aos lados: (x + y) que é o lado vertical ez, que é o horizontal:
Diagonal = 1/2
Essas expressões são substituídas na do perímetro, para obter:
Perímetro = y + x + πx / 2 + z + 1/2 + z + x + z
Termos semelhantes são reduzidos, uma vez que a adição requer que o resultado seja simplificado tanto quanto possível:
Perímetro = y + + z + z + z + 1/2 = y + (2 + π / 2) x + 3z
Solução b
A área resultante é a soma da área do retângulo, do semicírculo e do triângulo retângulo. As fórmulas para essas áreas são:
- Retângulo: base x altura
- Semicírculo: ½ π (Raio) 2
- Triângulo: base x altura / 2
Área retângulo
(x + y). (x + z) = x 2 + xz + yx + yz
Área semicírculo
½ π (x / 2) 2 = π x 2 /8
Área do triângulo
½ z (x + y) = ½ zx + ½ zy
Área total
Para encontrar a área total, são adicionadas as expressões encontradas para cada área parcial:
Área total = x 2 + xz + yz + x + (π x 2 /8) + zx + ½ ½ zy
E, finalmente, todos os termos semelhantes são reduzidos:
Área total = (1 + π / 8) x 2 + 3/2 xy + 3 / 2yz + yx
Referências
- Baldor, A. 1991. Algebra. Editorial Cultural Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Math is Fun. Adicionando e subtraindo polinômios. Recuperado de: mathsisfun.com.
- Monterey Institute. Adicionando e subtraindo polinômios. Recuperado de: montereyinstitute.org.
- UC Berkeley. Álgebra de polinômios. Recuperado de: math.berkeley.edu.