TRAPÉZIO ESCALENO: PROPRIEDADES, FÓRMULAS E EQUAÇÕES, EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2025

Um trapézio escaleno é um polígono com quatro lados, dois dos quais são paralelos entre si, e com seus quatro ângulos internos de diferentes medidas.

O quadrilátero ABCD é mostrado abaixo, onde os lados AB e DC são paralelos um ao outro. Isso é suficiente para ser um trapézio, mas também, os ângulos internos α, β, γ e δ são todos diferentes, portanto o trapézio é escaleno.

Figura 1. Quadrilateral ABCD é trapézio pela condição 1 e escaleno pela condição 2. Fonte: F. Zapata.

Elementos do trapézio escaleno

Aqui estão os elementos mais característicos:

-Bases e lados: os lados paralelos do trapézio são suas bases e os dois lados não paralelos são os lados.

Em um trapézio escaleno, as bases são de comprimentos diferentes e as laterais também. No entanto, um trapézio escaleno pode ter uma lateral igual em comprimento a uma base.

-Mediano: é o segmento que une os pontos médios dos laterais.

-Diagonais: a diagonal de um trapézio é o segmento que une dois vértices opostos. Um trapézio, como todo quadrilátero, tem duas diagonais. No trapézio escaleno, eles têm comprimentos diferentes.

Outros trapézios

Além do trapézio escaleno, existem outros trapézios particulares: o trapézio direito e o trapézio isósceles.

Um trapézio é um retângulo quando um de seus ângulos está correto, enquanto um trapézio isósceles tem seus lados de igual comprimento.

A forma trapezoidal tem inúmeras aplicações em nível de design e indústria, como na configuração de asas de aeronaves, formas de objetos do dia a dia, como mesas, encostos de cadeiras, embalagens, bolsas, estampas têxteis e muito mais.

Figura 2. O formato trapezoidal é comum na configuração de asas de aviões. Fonte: Wikimedia Commons.

Propriedades

As propriedades do trapézio escaleno estão listadas abaixo, muitas das quais se estendem a outros tipos de trapézio. A seguir, quando se fala em "trapézio", a propriedade se aplica a qualquer tipo, incluindo escaleno.

1. A mediana do trapézio, ou seja, o segmento que une os pontos médios de seus lados não paralelos, é paralelo a qualquer uma das bases.

2.- O mediano de um trapézio tem um comprimento que é o semisum do de suas bases e corta suas diagonais no ponto médio.

3.- As diagonais de um trapézio se cruzam em um ponto que as divide em duas seções proporcionais aos quocientes das bases.

4.- A soma dos quadrados das diagonais de um trapézio é igual à soma dos quadrados de seus lados mais o duplo produto de suas bases.

5.- O segmento que une os pontos médios das diagonais tem um comprimento igual à meia diferença das bases.

6.- Os ângulos adjacentes aos laterais são complementares.

7.- Em um trapézio escaleno, os comprimentos de suas diagonais são diferentes.

8.- Um trapézio tem circunferência inscrita somente se a soma de suas bases for igual à soma de seus lados.

9.- Se um trapézio tem uma circunferência inscrita, então o ângulo com o vértice no centro da dita circunferência e os lados que passam pelas pontas do lado do trapézio é reto.

10.- Um trapézio escaleno não tem circunferência circunscrita, o único tipo de trapézio que tem é isósceles.

Fórmulas e equações

As relações a seguir do trapézio escaleno são referenciadas na figura a seguir.

1.- Se AE = ED e BF = FC → EF - AB e EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2 ou seja: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d ₁ /2 e AG = CG = d ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) da mesma forma CJ / JA = (c / a).

Figura 3. Mediana e diagonais de um trapézio escaleno. Fonte: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

Equivalentemente:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

Quer dizer:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ e β + γ = 180⁰

8.- Se α ≠ β ≠ γ ≠ δ então d1 ≠ d2.

9.- A Figura 4 mostra um trapézio escaleno que tem uma circunferência inscrita, neste caso é verdade que:

a + c = d + b

10.- Em um trapézio escaleno ABCD com uma circunferência inscrita de centro O, o seguinte também é verdadeiro:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Figura 4. Se em um trapézio se verifica que a soma de suas bases é igual à soma das laterais, então há a circunferência nele inscrita. Fonte: F. Zapata.

Altura

A altura de um trapézio é definida como o segmento que vai de um ponto da base perpendicularmente à base oposta (ou sua extensão).

Todas as alturas do trapézio têm a mesma medida h, portanto, na maioria das vezes, a palavra altura se refere à sua medida. Resumindo, altura é a distância ou separação entre as bases.

A altura h pode ser determinada conhecendo o comprimento de um lado e um dos ângulos adjacentes ao lado:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Mediana

A medida m da mediana do trapézio é a semi-soma das bases:

m = (a + b) / 2

Diagonais

d ₁ = √

d ₂ = √

Também pode ser calculado se apenas o comprimento dos lados do trapézio for conhecido:

d ₁ = √

d ₂ = √

Perímetro

O perímetro é o comprimento total do contorno, ou seja, a soma de todos os seus lados:

P = a + b + c + d

Área

A área de um trapézio é o semisum de suas bases multiplicado por sua altura:

A = h ∙ (a + b) / 2

Também pode ser calculado se a mediana m for conhecida e a altura h:

A = m ∙ h

Caso apenas o comprimento dos lados do trapézio seja conhecido, a área pode ser determinada usando a fórmula de Heron para o trapézio:

A = ∙ √

Onde s é o semiperímetro: s = (a + b + c + d) / 2.

Outras razões para o trapézio escaleno

A intersecção da mediana com as diagonais e o paralelo que passa pela intersecção das diagonais dá origem a outras relações.

Figura 5. Outras relações para o trapézio escaleno. Fonte: F. Zapata.

-Relacionamentos para a FE mediana

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-Relacionamentos para o segmento paralelo às bases KL, e passando pelo ponto de intersecção J das diagonais

Se KL - AB - DC com J ∈ KL, então KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Construção do trapézio escaleno com régua e compasso

Dadas as bases dos comprimentos a e c, onde a> cy com lados dos comprimentos b e d, onde b> d, proceda seguindo estas etapas (ver figura 6):

1.- Com a regra desenha-se o segmento do AB maior.

2.- A partir de A se e em AB marcar o ponto P de forma que AP = c.

3.- Com a bússola com centro em P e raio d desenha-se um arco.

4.- É feito um centro em B com raio b, desenhando um arco que intercepta o arco desenhado no passo anterior. Chamamos Q de ponto de intersecção.

Figura 6. Construção de um trapézio escaleno dados seus lados. Fonte: F. Zapata.

5.- Com o centro em A, desenhe um arco de raio d.

6.- Com o centro em Q, desenhe um arco de raio c que intercepta o arco desenhado no passo anterior. O ponto de corte será denominado R.

7.- Os segmentos BQ, QR e RA são desenhados com a régua.

8.- Quadrilátero ABQR é um trapézio escaleno, já que APQR é um paralelogramo, o que garante que AB - QR.

Exemplo

Os seguintes comprimentos são dados em cm: 7, 3, 4 e 6.

a) Determine se com eles é possível construir um trapézio escaleno que possa circunscrever um círculo.

b) Encontre o perímetro, a área, o comprimento das diagonais e a altura do referido trapézio, bem como o raio do círculo inscrito.

- Solução para

Usando os segmentos de comprimento 7 e 3 como bases e aqueles de comprimento 4 e 6 como lados, um trapézio escaleno pode ser construído usando o procedimento descrito na seção anterior.

Resta verificar se possui circunferência inscrita, mas lembrando a propriedade (9):

Vemos isso de forma eficaz:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Então, a condição de existência da circunferência inscrita é satisfeita.

- Solução b

Perímetro

O perímetro P é obtido somando os lados. Como as bases somam 10 e as laterais também, o perímetro é:

P = 20 cm

Área

Para determinar a área, conhecida apenas seus lados, a relação é aplicada:

A = ∙ √

Onde s é o semiperímetro:

s = (a + b + c + d) / 2.

No nosso caso, o semiperímetro vale s = 10 cm. Depois de substituir os respectivos valores:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Permanece:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Altura

A altura h está relacionada à área A pela seguinte expressão:

A = (a + c) ∙ h / 2, a partir do qual a altura pode ser obtida por desmatamento:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Raio do círculo inscrito

O raio do círculo inscrito é igual a metade da altura:

r = h / 2 = 1.984 cm

Diagonais

Finalmente encontramos o comprimento das diagonais:

d ₁ = √

d ₂ = √

Substituindo adequadamente os valores que temos:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Ou seja: d ₁ = 4,69 cm e d ₂ = 8,49 cm

Figura 7. Trapézio escaleno que atende a condição de existência de circunferência inscrita. Fonte: F. Zapata.

Exercício resolvido

Determine os ângulos internos do trapézio com bases AB = a = 7, CD = c = 3 e ângulos laterais BC = b = 6, DA = d = 4.

Solução

O teorema do cosseno pode ser aplicado para determinar os ângulos. Por exemplo, o ângulo ∠A = α é determinado a partir do triângulo ABD com AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 e DA = d = 4.

O teorema do cosseno aplicado a este triângulo é assim:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), ou seja:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

Resolvendo para, o cosseno do ângulo α é obtido:

Cos (α) = -1/8

Ou seja, α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Os demais ângulos são obtidos da mesma forma, sendo seus valores:

β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ e finalmente δ = 82,82⁰.

Referências

1. CEA (2003). Elementos de geometria: com exercícios e geometria de compasso. University of Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matemática 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Descubra polígonos. Empresa de educação de referência.
4. Hendrik, V. (2013). Polígonos generalizados. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matemática Primeiro Semestre Tacaná. IGER.
6. Geometria Jr. (2014). Polígonos. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren e Hornsby. (2006). Matemática: Raciocínio e Aplicações (Décima Edição). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matemática 5. Editorial Progreso.
9. Wikipedia. Trapézio. Recuperado de: es.wikipedia.com