TRAJETÓRIA EM FÍSICA: CARACTERÍSTICAS, TIPOS, EXEMPLOS E EXERCÍCIOS - FISICA - 2024

A trajetória em física é a curva que um móbile descreve à medida que passa por pontos sucessivos durante seu movimento. Uma vez que pode ter muitas variantes, o mesmo acontecerá com as trajetórias que o celular pode seguir.

Para ir de um lugar a outro, uma pessoa pode percorrer diferentes caminhos e caminhos diferentes: a pé pelas calçadas de ruas e avenidas, ou chegando de carro ou moto em uma rodovia. Durante uma caminhada pela floresta, o caminhante pode seguir um caminho complicado que inclui curvas, subindo ou descendo de nível e até mesmo passando pelo mesmo ponto várias vezes.

Figura 1. Unindo os pontos finais de cada vetor de posição, obtém-se o caminho percorrido pela partícula. Fonte: Algarabia

Se os pontos por onde o móbile passa seguirem uma linha reta, a trajetória será retilínea. Este é o caminho mais simples, pois é unidimensional. Especificar a posição requer uma única coordenada.

Mas o móbile pode seguir um caminho curvilíneo, podendo ser fechado ou aberto. Nestes casos, o rastreamento da posição requer duas ou três coordenadas. Esses são movimentos no plano e no espaço, respectivamente. Isso tem a ver com links: condições materiais limitantes de movimento. Alguns exemplos são:

- As órbitas que descrevem os planetas ao redor do Sol são caminhos fechados em forma de elipse. Embora, em alguns casos, possam ser aproximados de uma circular, como no caso da Terra.

- A bola que o goleiro chuta em um tiro de meta segue uma trajetória parabólica.

- Um pássaro em vôo descreve trajetórias curvilíneas no espaço, porque além de se mover em um avião, ele pode subir ou descer nivelado à vontade.

A trajetória em física pode ser expressa matematicamente quando a posição do móbile é conhecida em qualquer instante. Seja r o vetor de posição, que por sua vez tem coordenadas x, y e z no caso mais geral de um movimento tridimensional. Conhecendo a função r (t), a trajetória será completamente determinada.

Tipos

Em termos gerais, a trajetória pode ser uma curva bastante complicada, especialmente se você quiser expressá-la matematicamente. Por isso partimos dos modelos mais simples, onde os móbiles viajam em linha reta ou em um avião, que pode ser o chão ou qualquer outro adequado:

Movimentos em uma, duas e três dimensões

As trajetórias mais estudadas são:

- Retilíneo, quando se viaja em linha reta horizontal, vertical ou inclinada. Uma bola lançada verticalmente para cima segue este caminho, ou um objeto deslizando em uma inclinação o segue. Eles são movimentos unidimensionais, uma única coordenada sendo suficiente para determinar sua posição completamente.

- Parabólico, em que o móbile descreve um arco de parábola. É frequente, pois qualquer objeto lançado obliquamente sob a ação da gravidade (um projétil) segue essa trajetória. Para especificar a posição do móvel, você deve fornecer duas coordenadas: x e y.

- Circular, ocorre quando a partícula em movimento segue um círculo. Também é comum na natureza e na prática diária. Muitos objetos do dia-a-dia seguem um caminho circular, como pneus, peças de máquinas e satélites em órbita, para citar alguns.

- Elíptico, o objeto se move seguindo uma elipse. Como disse no início, é o caminho percorrido pelos planetas em órbita ao redor do sol.

- Os objetos astronômicos hiperbólicos sob a ação de uma força central (gravidade), podem seguir trajetórias elípticas (fechadas) ou hiperbólicas (abertas), sendo estas menos frequentes que as primeiras.

- Movimento helicoidal ou espiral, como o de um pássaro subindo em uma corrente térmica.

- Balanço ou pêndulo, o móbile descreve um arco em movimentos de vaivém.

Exemplos

As trajetórias descritas na seção anterior são muito úteis para ter uma ideia rápida de como um objeto está se movendo. De qualquer forma, é necessário esclarecer que a trajetória de um móbile depende da localização do observador. Isso significa que o mesmo evento pode ser visto de maneiras diferentes, dependendo da localização de cada pessoa.

Por exemplo, uma garota pedala a uma velocidade constante e joga uma bola para cima. Ela observa que a bola descreve um caminho retilíneo.

Porém, para um observador parado na estrada que a vê passar, a bola terá um movimento parabólico. Para ele, a bola era inicialmente lançada com uma velocidade inclinada, resultado da velocidade de subida da mão da menina mais a velocidade da bicicleta.

Figura 2. Esta animação mostra o lançamento vertical de uma bola feito por uma menina andando de bicicleta, como ela a vê (caminho retilíneo) e como um observador o vê (caminho parabólico). (Preparado por F. Zapata).

Caminho de um móvel de forma explícita, implícita e paramétrica

- Explícito, especificando diretamente a curva ou lugar geométrico dado pela equação y (x)

- Implícito, em que uma curva é expressa como f (x, y, z) = 0

- Paramétrico, desta forma as coordenadas x, y e z são dadas em função de um parâmetro que, em geral, é escolhido como tempo t. Nesse caso, a trajetória é composta pelas funções: x (t), y (t) ez (t).

A seguir, duas trajetórias que têm sido amplamente estudadas em cinemática são detalhadas: a trajetória parabólica e a trajetória circular.

Lançamento inclinado para o vazio

Um objeto (o projétil) é lançado em um ângulo a com a horizontal e com velocidade inicial v _o, conforme mostrado na figura. A resistência do ar não é levada em consideração. O movimento pode ser tratado como dois movimentos independentes e simultâneos: um horizontal com velocidade constante e outro vertical sob a ação da gravidade.

Essas equações são as equações paramétricas de lançamento de projéteis. Conforme explicado acima, eles têm um parâmetro comum t, que é o tempo.

O seguinte pode ser visto no triângulo retângulo na figura:

Figura 3. Trajetória parabólica seguida de projétil, na qual são mostradas as componentes do vetor velocidade. H é a altura máxima e R é o alcance horizontal máximo. Fonte: Ayush12gupta

Substituindo essas equações contendo o ângulo de lançamento nos resultados das equações paramétricas:

Equação do caminho parabólico

A equação explícita do caminho é encontrada resolvendo t da equação para x (t) e substituindo y (t) na equação. Para facilitar o trabalho algébrico, pode-se assumir que a origem (0,0) está localizada no ponto de lançamento e, portanto, x _o = y _o = 0.

Esta é a equação do caminho de forma explícita.

Caminho circular

Um caminho circular é dado por:

Figura 4. Uma partícula se move em um caminho circular no plano. Fonte: modificado por F. Zapata do Wikimedia Commons.

Aqui x _ou yy _o representam o centro da circunferência descrita pelo móbile e R é seu raio. P (x, y) é um ponto no caminho. A partir do triângulo retângulo sombreado (figura 3), pode-se ver que:

O parâmetro, neste caso, é o ângulo de varredura θ, chamado de deslocamento angular. No caso particular em que a velocidade angular ω (ângulo varrido por unidade de tempo) é constante, pode-se afirmar que:

Onde θ _o é a posição angular inicial da partícula, que se tomada como 0, se reduz a:

Nesse caso, o tempo retorna para as equações paramétricas como:

Os vetores unitários i e j são muito convenientes para escrever a função posição de um objeto r (t). Eles indicam as direções no eixo xe no eixo y, respectivamente. Em seus termos, a posição de uma partícula que descreve um Movimento Circular Uniforme é:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

Exercícios resolvidos

Exercício 1 resolvido

Um canhão pode disparar uma bala com velocidade de 200 m / se ângulo de 40º em relação à horizontal. Se o lançamento for em solo plano e a resistência do ar for negligenciada, encontre:

a) A equação do caminho y (x)..

b) As equações paramétricas x (t) ey (t).

c) O alcance horizontal e o tempo de duração do projétil no ar.

d) A altura em que o projétil está quando x = 12.000 m

Solução para)

a) Para encontrar a trajetória, os valores dados na equação y (x) da seção anterior são substituídos:

Solução b)

b) O ponto de lançamento é escolhido na origem do sistema de coordenadas (0,0):

Solução c)

c) Para saber o tempo que o projétil dura no ar, seja y (t) = 0, onde o lançamento é feito em terreno plano:

O alcance horizontal máximo é encontrado substituindo este valor em x (t):

Outra maneira de encontrar x _max diretamente é definindo y = 0 na equação do caminho:

Há uma pequena diferença devido ao arredondamento das casas decimais.

Solução d)

d) Para encontrar a altura quando x = 12000 m, este valor é substituído diretamente na equação do caminho:

Exercício resolvido 2

A função de posição de um objeto é dada por:

r (t) = 3t i + (4 -5t ²) j m

Encontrar:

a) A equação do caminho. Que curva é essa?

b) A posição inicial e a posição quando t = 2 s.

c) O deslocamento realizado após t = 2 s.

Solução

a) A função posição foi dada em termos dos vetores unitários i e j, que respectivamente determinam a direção nos eixos xey, portanto:

A equação do caminho y (x) é encontrada resolvendo t de x (t) e substituindo em y (t):

b) A posição inicial é: r (2) = 4 j m; a posição em t = 2 s é r (2) = 6 i -16 j m

c) O deslocamento D r é a subtração dos dois vetores de posição:

Exercício resolvido 3

A Terra tem raio R = 6300 km e sabe-se que o período de rotação do seu movimento em torno do seu eixo é de um dia. Encontrar:

a) A equação da trajetória de um ponto na superfície terrestre e sua função de posição.

b) A velocidade e aceleração desse ponto.

Solução para)

a) A função de posição para qualquer ponto em órbita circular é:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

Temos o raio da Terra R, mas não a velocidade angular ω, porém ela pode ser calculada a partir do período, sabendo que para o movimento circular é válido dizer que:

O período do movimento é: 1 dia = 24 horas = 1440 minutos = 86 400 segundos, portanto:

Substituindo na função de posição:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j = 6300 (cos 0,000023148t i + sin 0,000023148t j) Km

O caminho na forma paramétrica é:

Solução b)

b) Para movimento circular, a magnitude da velocidade linear v de um ponto está relacionada à velocidade angular w por:

Mesmo sendo um movimento com velocidade constante de 145,8 m / s, há uma aceleração que aponta para o centro da órbita circular, encarregada de manter o ponto em rotação. É a aceleração centrípeta em _c, dada por:

Referências

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