TRINOMIAL DA FORMA X ^ 2 + BX + C (COM EXEMPLOS) - MATEMÁTICAS - 2025

Antes de aprender a resolver o trinômio da forma x ^ 2 + bx + c, e mesmo antes de conhecer o conceito de trinômio, é importante conhecer duas noções essenciais; a saber, os conceitos de monomial e polinomial. Um monômio é uma expressão do tipo a * x ⁿ, onde a é um número racional, n é um número natural ex é uma variável.

Um polinômio é uma combinação linear de monômios da forma a _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 +… + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀, onde cada a _i, com i = 0,…, n, é um número racional, n é um número natural e a_n é diferente de zero. Nesse caso, o grau do polinômio é n.

Um polinômio formado pela soma de apenas dois termos (dois monômios) de graus diferentes é conhecido como binômio.

Trinômios

Um polinômio formado pela soma de apenas três termos (três monômios) de diferentes graus é conhecido como trinômio. A seguir estão exemplos de trinômios:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ +5
• x ² + 6x + 3

Existem vários tipos de trinômios. Destes, o trinômio quadrado perfeito se destaca.

Trinômio quadrado perfeito

Um trinômio quadrado perfeito é o resultado da quadratura de um binômio. Por exemplo:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴) ² = 16x ⁴ -16x ² y ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴) ² -2 (1 / 4xy ⁴) z + z ² = (1 / 4xy ⁴ -z) ²

Características de trinômios de grau 2

Quadrado perfeito

Em geral, um trinômio da forma ax ² + bx + c é um quadrado perfeito se seu discriminante for igual a zero; isto é, se b ² -4ac = 0, pois neste caso terá uma única raiz e pode ser expressa na forma a (xd) ² = (√a (xd)) ², onde d é a raiz já mencionada.

A raiz de um polinômio é um número no qual o polinômio se torna zero; em outras palavras, um número que, ao substituir x na expressão polinomial, resulta em zero.

Fórmula de resolução

Uma fórmula geral para calcular as raízes de um polinômio de segundo grau da forma ax ² + bx + c é a fórmula resolvente, que afirma que essas raízes são dadas por (–b ± √ (b ² -4ac)) / 2a, onde b ² -4ac é conhecido como discriminante e geralmente é denotado por ∆. Desta fórmula segue que ax ² + bx + c tem:

- Duas raízes reais diferentes se ∆> 0.

- Uma única raiz real se ∆ = 0.

- Não tem raiz real se ∆ <0.

No que se segue, apenas trinômios da forma x ² + bx + c serão considerados, onde claramente c deve ser um número diferente de zero (caso contrário, seria um binômio). Esses tipos de trinômios têm certas vantagens ao fatorar e operar com eles.

Interpretação geométrica

Geometricamente, o trinómio x ² + bx + c é uma parábola que se abre para cima e tem o vértice no ponto (-b / 2, -b ² /4 + c) do plano cartesiano que x ² + bx + c = (x + b / 2) ² -b ² /4 + c.

Esta parábola corta o eixo Y no ponto (0, c) e o eixo X nos pontos (d ₁, 0) e (d ₂, 0); então, d ₁ ed ₂ são as raízes do trinômio. Pode acontecer que o trinômio tenha uma única raiz d, caso em que o único corte com eixo X seria (d, 0).

Também pode acontecer que o trinômio não tenha nenhuma raiz real, caso em que não interceptaria o eixo X em nenhum ponto.

Por exemplo, x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² é a parábola com vértice em (-3,0), que intercepta o eixo Y em (0, 9) e para o eixo X em (-3,0).

Fatoração trinomial

Uma ferramenta muito útil ao trabalhar com polinômios é a fatoração, que consiste em expressar um polinômio como um produto de fatores. Em geral, dado um trinômio da forma x ² + bx + c, se ele tiver duas raízes diferentes d ₁ e d ₂, ele pode ser fatorado como (xd ₁) (xd ₂).

Se ele tiver uma única raiz d, ele pode ser fatorado como (xd) (xd) = (xd) ², e se não tiver uma raiz real, ele permanece o mesmo; neste caso, não admite a fatoração como produto de outros fatores que não ela mesma.

Isso significa que, conhecendo as raízes de um trinômio na forma já estabelecida, sua fatoração pode ser facilmente expressa, e como já mencionado acima, essas raízes podem sempre ser determinadas usando o resolvente.

No entanto, existe uma quantidade significativa deste tipo de trinômios que podem ser fatorados sem antes conhecer suas raízes, o que simplifica o trabalho.

As raízes podem ser determinadas diretamente da fatoração, sem usar a fórmula resolvente; esses são os polinômios da forma x ² + (a + b) x + ab. Neste caso, temos:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Disto é facilmente visto que as raízes são –a e –b.

Em outras palavras, dado um trinômio x ² + bx + c, se houver dois números uev tais que c = uv eb = u + v, então x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

Ou seja, dado um trinômio x ² + bx + c, primeiro verifica-se se há dois números tais que multiplicados dão o termo independente (c) e somados (ou subtraídos, dependendo do caso), dão o termo que acompanha x (b).

Nem com todos os trinômios desta forma, este método pode ser aplicado; nos casos em que isso não seja possível, a resolução é utilizada e aplica-se o anterior.

Exemplos

Exemplo 1

Para fatorar o seguinte trinômio x ² + 3x + 2, proceda da seguinte forma:

Você deve encontrar dois números de forma que, ao adicioná-los, o resultado seja 3 e, ao multiplicá-los, o resultado seja 2.

Após fazer uma inspeção, pode-se concluir que os números pesquisados ​​são: 2 e 1. Portanto, x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Exemplo 2

Para fatorar o trinômio x ² -5x + 6, procuramos dois números cuja soma é -5 e seu produto é 6. Os números que satisfazem essas duas condições são -3 e -2. Portanto, a fatoração do trinômio dado é x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2).

Referências

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6. Rock, NM (2006). Álgebra I é fácil! Tão fácil. Equipe Rock Press.
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