Os vetores livres são aqueles que são totalmente especificados por sua magnitude, direção e sentido, sem que seja necessário indicar um ponto de aplicação ou uma origem particular.
Uma vez que vetores infinitos podem ser desenhados dessa maneira, um vetor livre não é uma entidade única, mas um conjunto de vetores paralelos e idênticos que são independentes de onde estão.
Figura 1. Vários vetores livres. Fonte: self made.
Digamos que temos vários vetores de magnitude 3 direcionados verticalmente para cima, ou de magnitude 5 e inclinados para a direita, como na Figura 1.
Nenhum desses vetores é especificamente aplicado em qualquer ponto. Então, qualquer um dos vetores azul ou verde é representativo de seu respectivo grupo, uma vez que suas características - módulo, direção e sentido - não mudam em nada quando são transferidos para outro lugar no plano.
Um vetor livre é geralmente indicado no texto impresso por uma letra em negrito e minúscula, por exemplo v. Ou com uma letra minúscula e uma seta acima dela, se for um texto manuscrito .
A vantagem dos vetores livres é que podem ser movidos no plano ou no espaço e manter suas propriedades, já que qualquer representante do conjunto é igualmente válido.
É por isso que na física e na mecânica são usados com frequência. Por exemplo, para indicar a velocidade linear de um sólido em translação, não é necessário escolher um determinado ponto no objeto. Portanto, o vetor velocidade se comporta como um vetor livre.
Outro exemplo de vetor livre é o par de forças. Um par consiste em duas forças de igual magnitude e direção, mas de direções opostas, aplicadas em pontos diferentes em um sólido. O efeito de um casal não é mover o objeto, mas sim causar uma rotação graças ao momento produzido.
A Figura 2 mostra algumas forças aplicadas a um volante. Por meio das forças F 1 e F 2, é criado o torque que gira o volante em torno de seu centro e no sentido horário.
Figura 2. Algumas forças aplicadas a um volante fazem com que ele gire no sentido horário. Fonte: Bielasko.
Você pode fazer algumas alterações no torque e ainda obter o mesmo efeito de rotação, por exemplo, aumentando a força, mas diminuindo a distância entre eles. Ou mantenha a força e a distância, mas aplique o torque em outro par de pontos do volante, ou seja, gire o torque em torno do centro.
O momento do casal ou simplesmente casal, é um vetor cujo módulo é Fd e é direcionado perpendicularmente ao plano do volante. No exemplo mostrado por convenção, a rotação no sentido horário tem uma direção negativa.
Propriedades e características
Ao contrário do vetor livre v, os vetores AB e CD são fixos (ver figura 3), uma vez que possuem um ponto de partida e um ponto de chegada especificados. Mas, uma vez que são lenientes entre si e, por sua vez, com o vetor v, eles são representativos do vetor livre v.
Figura 3. Vetores livres, vetores de lentes de equipe e vetores fixos. Fonte: self made.
As principais propriedades dos vetores livres são as seguintes:
-Qualquer vetor AB (ver figura 2) é, como disse, representativo do vetor livre v.
-O módulo, a direção e o sentido são os mesmos em qualquer representante do vetor livre. Na Figura 2, os vetores AB e CD representam o vetor livre v e são lentes de equipe.
-Dado um ponto P no espaço, é sempre possível encontrar um representante do vetor livre v cuja origem está em P e este representante é único. Esta é a propriedade mais importante dos vetores livres e a que os torna tão versáteis.
-Um vetor livre nulo é denotado como 0 e é o conjunto de todos os vetores que não possuem magnitude, direção e sentido.
-Se o vetor AB representa o vetor livre v, então o vetor BA representa o vetor livre - v.
-A notação V 3 será usada para designar o conjunto de todos os vetores livres no espaço e V 2 para designar todos os vetores livres no plano.
Exercícios resolvidos
Com vetores livres, as seguintes operações podem ser realizadas:
-Soma
-Subtração
-Multiplicação de escalar por um vetor
-Produto escalar entre dois vetores.
- Produto cruzado entre dois vetores
- Combinação linear de vetores
E mais.
-Exercício 1
Um aluno tenta nadar de um ponto na margem de um rio para outro que está diretamente oposto. Para isso, nada diretamente a uma velocidade de 6 km / h, em sentido perpendicular, porém a corrente tem uma velocidade de 4 km / h que a desvia.
Calcule a velocidade resultante do nadador e o quanto ele é desviado pela corrente.
Solução
A velocidade resultante do nadador é a soma vetorial de sua velocidade (em relação ao rio, desenhada verticalmente para cima) e a velocidade do rio (desenhada da esquerda para a direita), que é realizada conforme indicado na figura abaixo:
A magnitude da velocidade resultante corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo mostrado, portanto:
v = (6 2 + 4 2) ½ km / h = 7,2 km / h
A direção pode ser calculada pelo ângulo em relação à perpendicular à costa:
α = arctg (4/6) = 33,7º ou 56,3º em relação à costa.
Exercício 2
Encontre o momento do par de forças mostrado na figura:
Solução
O momento é calculado por:
M = r x F
As unidades do momento são lb-f.ft. Como o casal está no plano da tela, o momento é direcionado perpendicularmente a ele, seja para fora ou para dentro.
Como o torque no exemplo tende a girar o objeto sobre o qual é aplicado (o que não é mostrado na figura) no sentido horário, este momento é considerado apontando para o interior da tela e com sinal negativo.
A magnitude do momento é M = Fdsen a, onde a é o ângulo entre a força e o vetor r. Você deve escolher um ponto em relação ao qual calcular o momento, que é um vetor livre. A origem do sistema de referência é escolhida, pois r vai de O ao ponto de aplicação de cada força.
H 1 = H 2 = -Fdsen60º = -500. 20.sen 60º lb-f. ft = -8660,3 lb-f. pé
O momento líquido é a soma de M 1 e M 2: -17329,5 lb-f. pé.
Referências
- Beardon, T. 2011. Uma introdução aos vetores. Recuperado de: nrich.maths.org.
- Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley. 38-52.
- Figueroa, D. Série: Física para Ciências e Engenharia. Volume 1. Cinemática. 31-68.
- Fisica. Módulo 8: Vetores. Recuperado de: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Estático 6ª Edição. Editora Continental. 15-53.
- Calculadora de adição de vetor. Recuperado de: 1728.org
- Vetores. Recuperado de: en.wikibooks.org