- Leis de Kepler
- Por que os planetas se movem elipticamente em torno do Sol?
- A magnitude da velocidade linear de um planeta não é constante
- Velocidade areolar
- Exercício
- Responda para)
- Resposta B)
A velocidade areolar é a área varrida por unidade de tempo e é constante. É específico para cada planeta e surge da descrição da segunda lei de Kepler em forma matemática. Neste artigo, explicaremos o que é e como é calculado.
O boom que representa a descoberta de planetas fora do sistema solar reativou o interesse no movimento planetário. Nada nos faz acreditar que esses exoplanetas sigam outras leis além das já conhecidas e válidas no sistema solar: as leis de Kepler.
Johannes Kepler foi o astrônomo que, sem a ajuda do telescópio e usando as observações de seu mentor Tycho Brahe, criou um modelo matemático que descreve o movimento dos planetas ao redor do Sol.
Ele deixou esse modelo consubstanciado nas três leis que levam seu nome e que ainda hoje valem tanto quanto em 1609, quando instituiu as duas primeiras e em 1618, data em que enunciou a terceira.
Leis de Kepler
No jargão de hoje, as três leis de Kepler são assim:
1. As órbitas de todos os planetas são elípticas e o Sol está em um foco.
2. O vetor de posição do Sol para um planeta abrange áreas iguais em tempos iguais.
3. O quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior da elipse descrita.
Um planeta terá uma velocidade linear, assim como qualquer objeto em movimento conhecido. E mais: ao escrever a segunda lei de Kepler de forma matemática, surge um novo conceito denominado velocidade areolar, típica de cada planeta.
Por que os planetas se movem elipticamente em torno do Sol?
A Terra e os outros planetas giram em torno do Sol graças ao fato de ele exercer uma força sobre eles: a atração gravitacional. O mesmo acontece com qualquer outra estrela e os planetas que compõem seu sistema, se os houver.
Esta é uma força do tipo conhecido como força central. O peso é uma força central com a qual todos estão familiarizados. O objeto que exerce a força central, seja o Sol ou uma estrela distante, atrai os planetas em direção ao seu centro e eles se movem em uma curva fechada.
Em princípio, essa curva pode ser aproximada como uma circunferência, como fez Nicolás Copernicus, um astrônomo polonês que criou a teoria heliocêntrica.
A força responsável é a atração gravitacional. Essa força depende diretamente das massas da estrela e do planeta em questão e é inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa.
O problema não é tão fácil, pois em um sistema solar, todos os elementos interagem dessa forma, agregando complexidade ao assunto. Além disso, eles não são partículas, uma vez que estrelas e planetas têm tamanhos mensuráveis.
Por esse motivo, o ponto central da órbita ou circuito percorrido pelos planetas não está exatamente centrado na estrela, mas em um ponto conhecido como centro de gravidade do sistema planeta-sol.
A órbita resultante é elíptica. A imagem a seguir mostra isso, tomando a Terra e o Sol como exemplo:
Figura 1. A órbita da Terra é elíptica, com o Sol localizado em um dos focos. Quando a Terra e o Sol estão em sua distância máxima, diz-se que a Terra está em afélio. E se a distância for mínima, então falamos de periélio.
O afélio é a posição mais distante do Sol na Terra, enquanto o periélio é o ponto mais próximo. A elipse pode ser mais ou menos achatada, dependendo das características do sistema planeta-estrela.
Os valores do afélio e do periélio variam anualmente, pois os outros planetas causam distúrbios. Para outros planetas, essas posições são chamadas de apoaster e periaster, respectivamente.
A magnitude da velocidade linear de um planeta não é constante
Kepler descobriu que quando um planeta orbita o Sol, durante seu movimento ele varre áreas iguais em tempos iguais. A Figura 2 mostra graficamente o significado disso:
Figura 2. O vetor posição de um planeta em relação ao Sol é r. Quando o planeta descreve sua órbita, ele percorre um arco de elipse Δs em um tempo Δt.
Matematicamente, o fato de que A 1 é igual a A 2 é expresso assim:
Os arcos Δs percorridos são pequenos, de modo que cada área pode se aproximar da de um triângulo:
Como Δs = v Δ t, onde v é a velocidade linear do planeta em um determinado ponto, ao substituir temos:
E como o intervalo de tempo Δt é o mesmo, obtemos:
Como r 2 > r 1, então v 1 > v 2, em outras palavras, a velocidade linear de um planeta não é constante. Na verdade, a Terra se move mais rápido quando está no periélio do que quando está no afélio.
Portanto, a velocidade linear da Terra ou de qualquer planeta ao redor do Sol não é uma magnitude que sirva para caracterizar o movimento desse planeta.
Velocidade areolar
Com o exemplo a seguir, mostraremos como calcular a velocidade areolar quando alguns parâmetros do movimento planetário são conhecidos:
Exercício
Um exoplaneta se move ao redor de seu Sol seguindo uma órbita elíptica, de acordo com as leis de Kepler. Quando está no periastro, seu vetor de raio é r 1 = 4 · 10 7 km, e quando está no apoaster é r 2 = 15 · 10 7 km. A velocidade linear em seu periastro é v 1 = 1000 km / s.
Calcular:
A) A magnitude da velocidade no apoastro.
B) A velocidade areolar do exo-planeta.
C) O comprimento do semieixo maior da elipse.
Responda para)
A equação é usada:
em que os valores numéricos são substituídos.
Cada termo é identificado da seguinte forma:
v 1 = velocidade em apoastro; v 2 = velocidade no periastro; r 1 = distância do apoastro, r 2 = distância do periastro.
Com esses valores você obtém:
Resposta B)
- Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. México. Editores da Cengage Learning. 367-372.
- Stern, D. (2005). As Três Leis do Movimento Planetário de Kepler. Recuperado de pwg.gsfc.nasa.gov
- Nota: o exercício proposto foi retirado e modificado do seguinte texto em um livro da McGrawHill. Infelizmente é um capítulo isolado em formato pdf, sem título ou autor: mheducation.es/bcv/guide/capitulo/844817027X.pdf