- Termos importantes
- Métodos
- - Passos para aplicar a análise de malha
- Passo 1
- Passo 2
- Malha abcda
- Solução de sistema pelo método de Cramer
- Etapa 1: Calcular Δ
- Etapa 3: Calcule I
- Etapa 4: Calcular Δ
- Solução
- Malha 3
- Tabela de correntes e tensões em cada resistência
- Solução de regra de Cramer
- Referências
A análise de malha é uma técnica usada para resolver planos de circuitos elétricos. Este procedimento também pode aparecer na literatura como o método das correntes do circuito ou o método das correntes em malha (ou loop).
A base deste e de outros métodos de análise de circuito elétrico está nas leis de Kirchhoff e na lei de Ohm. As leis de Kirchhoff, por sua vez, são expressões de dois princípios de conservação muito importantes na Física para sistemas isolados: tanto a carga elétrica quanto a energia são conservadas.
Figura 1. Os circuitos fazem parte de inúmeros dispositivos. Fonte: Pixabay.
Por um lado, a carga elétrica está relacionada à corrente, que é carga em movimento, enquanto em um circuito a energia está ligada à tensão, que é o agente encarregado de fazer o trabalho necessário para manter a carga em movimento.
Essas leis, aplicadas a um circuito plano, geram um conjunto de equações simultâneas que devem ser resolvidas para obter os valores de corrente ou tensão.
O sistema de equações pode ser resolvido com técnicas analíticas já conhecidas, como a regra de Cramer, que requer o cálculo de determinantes para se obter a solução do sistema.
Dependendo do número de equações, elas são resolvidas usando uma calculadora científica ou algum software matemático. Existem também muitas opções disponíveis online.
Termos importantes
Antes de explicar como funciona, vamos começar definindo estes termos:
Branch: seção que contém um elemento do circuito.
Nó: ponto que conecta dois ou mais ramos.
Loop: é qualquer parte fechada de um circuito, que começa e termina no mesmo nó.
Malha: laço que não contém nenhum outro laço dentro (malha essencial).
Métodos
A análise de malha é um método geral utilizado para resolver circuitos cujos elementos estão conectados em série, em paralelo ou de forma mista, ou seja, quando o tipo de conexão não é claramente distinguido. O circuito deve ser plano ou, pelo menos, deve ser possível redesenhá-lo como tal.
Figura 2. Circuitos planos e não planos. Fonte: Alexander, C. 2006. Fundamentals of Electrical Circuits. 3º Edição. Mc Graw Hill.
Um exemplo de cada tipo de circuito é mostrado na figura acima. Uma vez que o ponto esteja claro, para começar, aplicaremos o método a um circuito simples como um exemplo na próxima seção, mas primeiro revisaremos brevemente as leis de Ohm e Kirchhoff.
Lei de Ohm: seja V a tensão, R a resistência e I a corrente do elemento resistivo ôhmico, em que a tensão e a corrente são diretamente proporcionais, sendo a resistência a constante de proporcionalidade:
Lei da Tensão de Kirchhoff (LKV): Em qualquer caminho fechado percorrido em apenas uma direção, a soma algébrica das tensões é zero. Isso inclui tensões devido a fontes, resistores, indutores ou capacitores: ∑ E = ∑ R i. Eu
Lei da corrente de Kirchhoff (LKC): em qualquer nó, a soma algébrica das correntes é zero, levando-se em consideração que as correntes de entrada recebem um sinal e as que saem de outro. Desta forma: ∑ I = 0.
Com o método das correntes em malha, não é necessário aplicar a lei atual de Kirchhoff, resultando em menos equações para resolver.
- Passos para aplicar a análise de malha
Começaremos explicando o método para um circuito de 2 malhas. O procedimento pode então ser estendido para circuitos maiores.
Figura 3. Circuito com resistores e fontes dispostos em duas malhas. Fonte: F. Zapata.
Passo 1
Atribua e desenhe correntes independentes para cada malha, neste exemplo, elas são I 1 e I 2. Eles podem ser desenhados no sentido horário ou anti-horário.
Passo 2
Aplique a Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) e a lei de Ohm a cada malha. As quedas potenciais são atribuídas a um sinal (-) enquanto as subidas são atribuídas a um sinal (+).
Malha abcda
Partindo do ponto a e seguindo a direção da corrente, encontramos um aumento de potencial na bateria E1 (+), depois uma queda em R 1 (-) e outra queda em R 3 (-).
Simultaneamente, a resistência R 3 também é cruzada pela corrente I 2, mas na direção oposta, portanto representa uma subida (+). A primeira equação se parece com isto:
Em seguida, é fatorado e os termos são reagrupados:
---------
-50 I 1 + 10I 2 = -12
Como é um sistema de equações 2 x 2, pode ser facilmente resolvido por redução, multiplicando a segunda equação por 5 para eliminar a incógnita I 1:
-50 I 1 + 10 I 2 = -12
Imediatamente, o I 1 atual é eliminado de qualquer uma das equações originais:
O sinal negativo na corrente I 2 significa que a corrente na malha 2 circula na direção oposta à desenhada.
As correntes em cada resistor são as seguintes:
A corrente I 1 = 0,16 A flui através da resistência R 1 na direção desenhada, através da resistência R 2 a corrente I 2 = 0,41 A flui na direção oposta à desenhada, e através da resistência R 3 flui i 3 = 0,16- (-0,41) A = 0,57 A para baixo.
Solução de sistema pelo método de Cramer
Na forma de matriz, o sistema pode ser resolvido da seguinte forma:
Etapa 1: Calcular Δ
A primeira coluna é substituída pelos termos independentes do sistema de equações, mantendo a ordem em que o sistema foi originalmente proposto:
Etapa 3: Calcule I
Etapa 4: Calcular Δ
Figura 4. Circuito de 3 malhas. Fonte: Boylestad, R. 2011. Introduction to Circuit Analysis.2da. Edição. Pearson.
Solução
As três correntes de malha são desenhadas, conforme mostrado na figura a seguir, em direções arbitrárias. Agora as malhas são percorridas a partir de qualquer ponto:
Figura 5. Correntes de malha para o exercício 2. Fonte: F. Zapata, modificado de Boylestad.
Malha 1
-9100.I 1 + 18-2200.I 1 + 9100.I 2 = 0
Malha 3
Sistema de equações
Embora os números sejam grandes, isso pode ser resolvido rapidamente com a ajuda de uma calculadora científica. Lembre-se que as equações devem ser ordenadas e adicionar zeros nos locais onde a incógnita não aparece, como aparece aqui.
As correntes de malha são:
As correntes I 2 e I 3 circulam no sentido oposto ao mostrado na figura, pois se revelaram negativas.
Tabela de correntes e tensões em cada resistência
| Resistência (Ω) | Atual (Amps) | Tensão = IR (Volts) |
|---|---|---|
| 9100 | I 1 –I 2 = 0,0012 - (- 0,00048) = 0,00168 | 15,3 |
| 3300 | 0,00062 | 2.05 |
| 2200 | 0,0012 | 2,64 |
| 7500 | 0,00048 | 3,60 |
| 6800 | I 2 –I 3 = -0,00048 - (- 0,00062) = 0,00014 | 0,95 |
Solução de regra de Cramer
Como são números grandes, é conveniente usar notação científica para trabalhar diretamente com eles.
Cálculo de I 1
As setas coloridas no determinante 3 x 3 indicam como encontrar os valores numéricos, multiplicando os valores indicados. Vamos começar obtendo aqueles do primeiro colchete no determinante Δ:
(-11300) x (-23400) x (-10100) = -2,67 x 10 12
9100 x 0 x 0 = 0
9100 x 6800 x 0 = 0
Imediatamente obtemos o segundo colchete nesse mesmo determinante, que é trabalhado da esquerda para a direita (para este colchete as setas coloridas não foram desenhadas na figura). Convidamos o leitor a verificar:
0 x (-23400) x 0 = 0
9100 x 9100 x (-10100) = -8,364 x 10 11
6800 x 6800 x (-11300) = -5,225 x 10 11
Da mesma forma, o leitor também pode verificar os valores para o determinante Δ 1.
Importante: entre os dois colchetes existe sempre um sinal negativo.
Finalmente a corrente I 1 é obtida através de I 1 = Δ 1 / Δ
Cálculo de I 2
O procedimento pode ser repetido para calcular I 2, neste caso, para calcular o determinante Δ 2, a segunda coluna do determinante Δ é substituída pela coluna dos termos independentes e encontra-se seu valor, conforme procedimento explicado.
No entanto, como é incômodo devido aos grandes números, especialmente se você não tiver uma calculadora científica, a coisa mais simples é substituir o valor já calculado de I 1 na seguinte equação e resolver:
Cálculo de I3
Uma vez com os valores de I 1 e I 2 em mãos, o de I 3 é encontrado diretamente por substituição.
Referências
- Alexander, C. 2006. Fundamentals of Electrical Circuits. 3º Edição. Mc Graw Hill.
- Boylestad, R. 2011. Introduction to Circuit Analysis.2da. Edição. Pearson.
- Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 5. Interação elétrica. Editado por Douglas Figueroa (USB).
- García, L. 2014. Electromagnetism. 2ª Edição. Universidade Industrial de Santander.
- Sears, Zemansky. 2016. Física Universitária com Física Moderna. 14º. Ed. Volume 2.