ANÁLISE DIMENSIONAL: TÉCNICAS, PRINCÍPIOS E EXERCÍCIOS - FISICA - 2024

A análise dimensional é uma ferramenta amplamente utilizada em vários ramos da ciência e da engenharia para melhor compreender os fenômenos que envolvem a presença de diferentes quantidades físicas. As quantidades têm dimensões e delas derivam as diferentes unidades de medida.

A origem do conceito de dimensão está no matemático francês Joseph Fourier, que o cunhou. Fourier também entendeu que para que duas equações sejam comparáveis, elas devem ser homogêneas no que diz respeito às suas dimensões. Em outras palavras, metros não podem ser adicionados a quilogramas.

Assim, a análise dimensional é responsável por estudar as magnitudes, dimensões e homogeneidade das equações físicas. Por esse motivo, é frequentemente usado para verificar relações e cálculos, ou para construir hipóteses sobre questões complicadas que podem ser testadas experimentalmente posteriormente.

Desta forma, a análise dimensional é uma ferramenta perfeita para detectar erros em cálculos, verificando a congruência ou inconsistência das unidades utilizadas nos mesmos, dando especial atenção às unidades dos resultados finais.

Além disso, a análise dimensional é usada para projetar experimentos sistemáticos. Permite reduzir o número de experimentos necessários, bem como facilitar a interpretação dos resultados obtidos.

Uma das bases fundamentais da análise dimensional é que é possível representar qualquer grandeza física como produto das potências de uma grandeza menor, conhecidas como grandezas fundamentais das quais derivam as demais.

Quantidades fundamentais e fórmula dimensional

Em física, as grandezas fundamentais são consideradas aquelas que permitem que as outras se expressem em função delas. Por convenção, foram escolhidos os seguintes: comprimento (L), tempo (T), massa (M), intensidade de corrente elétrica (I), temperatura (θ), intensidade luminosa (J) e quantidade de substância (N).

Pelo contrário, o resto são considerados quantidades derivadas. Alguns deles são: área, volume, densidade, velocidade, aceleração, entre outros.

Uma fórmula dimensional é definida como a igualdade matemática que apresenta a relação entre uma quantidade derivada e as fundamentais.

Técnicas de análise dimensional

Existem várias técnicas ou métodos de análise dimensional. Duas das mais importantes são as seguintes:

Método Rayleigh

Rayleigh, que junto com Fourier foi um dos precursores da análise dimensional, desenvolveu um método direto e muito simples que nos permite obter elementos adimensionais. Neste método, as seguintes etapas são seguidas:

1- A função de caráter potencial da variável dependente é definida.

2- Cada variável é alterada por suas dimensões correspondentes.

3- São estabelecidas as equações da condição de homogeneidade.

4- As incógnitas np são definidas.

5- Os expoentes que foram calculados e fixados na equação potencial são substituídos.

6- Os grupos de variáveis ​​são movidos para definir os números adimensionais.

Método de Buckingham

Este método é baseado no teorema de Buckingham ou teorema pi, que afirma o seguinte:

Se houver uma relação dimensional homogênea entre um número “n” de grandezas físicas ou variáveis ​​onde “p” diferentes dimensões fundamentais estão incluídas, há também uma relação dimensionalmente homogênea entre n - p, grupos adimensionais independentes.

Princípio de homogeneidade dimensional

O princípio de Fourier, também conhecido como princípio da homogeneidade dimensional, afeta a estruturação adequada das expressões que ligam as quantidades físicas algebricamente.

É um princípio que tem consistência matemática e afirma que a única opção é subtrair ou adicionar quantidades físicas que sejam da mesma natureza. Portanto, não é possível adicionar uma massa com um comprimento, nem um tempo com uma superfície, etc.

Da mesma forma, o princípio afirma que para as equações físicas serem dimensionalmente corretas, o total dos termos dos membros dos dois lados da igualdade deve ter a mesma dimensão. Este princípio permite garantir a coerência das equações físicas.

Princípio de similaridade

O princípio de similaridade é uma extensão do caráter de homogeneidade dimensional das equações físicas. É declarado da seguinte forma:

As leis físicas permanecem inalteradas frente a mudanças nas dimensões (tamanho) de um evento físico no mesmo sistema de unidades, sejam mudanças de natureza real ou imaginária.

A aplicação mais clara do princípio da similaridade ocorre na análise das propriedades físicas de um modelo feito em escala menor, para posteriormente utilizar os resultados no objeto em tamanho real.

Essa prática é essencial em áreas como projeto e fabricação de aviões e navios e em grandes obras hidráulicas.

Formulários

As muitas aplicações de análise dimensional incluem aquelas listadas abaixo.

- Localizar possíveis erros nas operações realizadas

- Resolver problemas cuja resolução apresenta alguma dificuldade matemática intransponível.

- Desenhar e analisar modelos em pequena escala.

- Faça observações sobre como possíveis modificações influenciam um modelo.

Além disso, a análise dimensional é usada com bastante frequência no estudo da mecânica dos fluidos.

A relevância da análise dimensional em mecânica dos fluidos deve-se à dificuldade de estabelecer equações em determinados fluxos e também à dificuldade de resolvê-los, impossibilitando o alcance de relações empíricas. Por isso, é necessário recorrer ao método experimental.

Exercícios resolvidos

Primeiro exercício

Encontre a equação dimensional para velocidade e aceleração.

Solução

Como v = s / t, é verdade que: = L / T = L ∙ T ^-1

Similarmente:

a = v / t

= L / T ² = L ∙ T ^-2

Segundo exercício

Determine a equação dimensional para o momento.

Solução

Uma vez que o momento é o produto da massa e da velocidade, é verdade que p = m ∙ v

Por tanto:

= M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T ^-2

Referências

1. Análise dimensional (nd). Na Wikipedia. Recuperado em 19 de maio de 2018, em es.wikipedia.org.
2. Análise dimensional (nd). Na Wikipedia. Obtido em 19 de maio de 2018 em en.wikipedia.org.
3. Langhaar, HL (1951), Dimensional Analysis and Theory of Models, Wiley.
4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005). Física e Química. Everest
5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002). Compreendendo a física. Birkhäuser.