ARCO (GEOMETRIA): MEDIDA, TIPOS DE ARCOS, EXEMPLOS - MATEMÁTICAS - 2025

O arco, em geometria, é qualquer linha curva que conecta dois pontos. Uma linha curva, ao contrário de uma linha reta, é aquela cuja direção é diferente em cada ponto dela. O oposto de um arco é um segmento, pois se trata de uma seção reta que une dois pontos.

O arco mais freqüentemente usado em geometria é o arco de circunferência. Outros arcos de uso comum são o arco parabólico, o arco elíptico e o arco catenário. A forma do arco também é freqüentemente usada na arquitetura como um elemento decorativo e um elemento estrutural. É o caso dos lintéis das portas e janelas, bem como das pontes e aquedutos.

Figura 1. O arco-íris é uma linha curva que une dois pontos no horizonte. Fonte: Pixabay

O arco e sua medida

A medida de um arco é seu comprimento, que depende do tipo de curva que conecta os dois pontos e de sua localização.

O comprimento de um arco circular é um dos mais simples de calcular, porque o comprimento do arco completo ou perímetro de uma circunferência é conhecido.

O perímetro de um círculo é dois pi vezes seu raio: p = 2 π R. Sabendo disso, se quisermos calcular o comprimento s de um arco circular de ângulo α (medido em radianos) e raio R, uma proporção é aplicada:

(s / p) = (α / 2 π)

Então, apagando s da expressão anterior e substituindo o perímetro p por sua expressão em função do raio R, temos:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Ou seja, a medida de um arco circular é o produto de sua abertura angular pelo raio do arco circular.

Para um arco em geral, o problema é mais complicado, a ponto de os grandes pensadores da antiguidade afirmarem que era uma tarefa impossível.

Foi somente com o advento do cálculo diferencial e integral em 1665 que o problema de medir qualquer arco foi resolvido de forma satisfatória.

Antes da invenção do cálculo diferencial, as soluções só podiam ser encontradas usando linhas poligonais ou arcos de circunferência que se aproximavam do arco verdadeiro, mas essas soluções não eram exatas.

Tipos de arcos

Do ponto de vista da geometria, os arcos são classificados de acordo com a linha curva que une dois pontos no plano. Existem outras classificações de acordo com seu uso e forma arquitetônica.

Arco circular

Quando a linha que conecta dois pontos no plano é um pedaço de circunferência de um determinado raio, temos um arco circular. A Figura 2 mostra um arco circular c de raio R conectando os pontos A e B.

Figura 2. Arco circular de raio R que conecta os pontos A e B. Elaborado por Ricardo Pérez.

Arco parabólico

A parábola é o caminho percorrido por um objeto que foi lançado obliquamente no ar. Quando a curva que une dois pontos é uma parábola, temos um arco parabólico como o mostrado na figura 3.

Figura 3. Arco parabólico conectando os pontos A e B. Elaborado por Ricardo Pérez.

Esta é a forma do jato de água que sai de uma mangueira apontando para cima. O arco parabólico pode ser observado nos mananciais.

Figura 4. Arco parabólico formado pela água de uma fonte em Dresden. Fonte: Pixabay.

Arco catenário

O arco catenário é outro arco natural. A catenária é a curva que se forma naturalmente quando uma corrente ou corda está solta em dois pontos separados.

Figura 5. Arco catenário e comparação com o arco parabólico. Preparado por Ricardo Pérez.

A catenária é semelhante à parábola, mas não é exatamente a mesma que pode ser vista na figura 4.

O arco catenário invertido é usado na arquitetura como um elemento estrutural de alta resistência à compressão. Na verdade, pode ser demonstrado que é o tipo de arco mais forte entre todas as formas possíveis.

Para construir um arco catenário sólido, basta copiar a forma de uma corda ou corrente pendurada e, em seguida, a forma copiada é invertida para reproduzi-la no lintel da porta ou janela.

Arco elíptico

Um arco é elíptico se a curva que conecta dois pontos for um pedaço de elipse. A elipse é definida como o lugar geométrico dos pontos cuja distância a dois pontos dados sempre soma uma quantidade constante.

A elipse é uma curva que aparece na natureza: é a curva da trajetória dos planetas ao redor do Sol, conforme demonstrado por Johannes Kepler em 1609.

Na prática, uma elipse pode ser desenhada prendendo-se dois suportes no chão ou dois alfinetes em um pedaço de papel e amarrando-os com um barbante. A corda é então apertada com o marcador ou lápis e a curva é traçada. Um pedaço de elipse é um arco elíptico. A animação a seguir ilustra como a elipse é desenhada:

Figura 5. Traçando uma elipse usando uma corda esticada. Fonte: Wikimedia Commons

A Figura 6 mostra um arco elíptico conectando os pontos G e H.

Figura 6. Arco elíptico conectando dois pontos. Preparado por Ricardo Pérez.

Exemplos de arcos

Os exemplos a seguir referem-se a como calcular o perímetro de alguns arcos específicos.

Exemplo 1

A Figura 7 mostra uma janela com acabamento em arco circular recortado. As dimensões mostradas na figura estão em pés. Encontre o comprimento do arco.

Figura 7. Cálculo do comprimento do arco circular de uma janela. (Anotações próprias - imagem da janela no Pixabay)

Para obter o centro e o raio do arco circular do lintel da janela, são feitas as seguintes construções na imagem:

-O segmento KL é desenhado e sua bissetriz é desenhada.

-Então se localiza o ponto mais alto do lintel, que chamamos de M. A seguir, o segmento KM é considerado e sua mediatriz é traçada.

A interceptação das duas bissetoras é o ponto N e também é o centro do arco circular.

-Agora devemos medir o comprimento do segmento NM, que coincide com o raio R do arco circular: R = 2,8 pés.

-Para saber o comprimento do arco além do raio, é necessário saber o ângulo que o arco forma. Que pode ser determinado por dois métodos, ou é medido com um transferidor ou, alternativamente, é calculado usando trigonometria.

No caso mostrado, o ângulo formado pelo arco é de 91,13º, que deve ser convertido para radianos:

91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 radianos

Finalmente, calculamos o comprimento s do arco usando a fórmula s = α R.

s = 1,59 * 2,8 pés = 4,45 pés

Exemplo 2

Encontre o comprimento do arco elíptico mostrado na figura 8, conhecendo o semi-eixo maior r e o semi-eixo menor s da elipse.

Figura 8. Arco elíptico entre GH. Preparado por Ricardo Pérez.

Encontrar o comprimento de uma elipse foi um dos problemas mais difíceis da matemática por muito tempo. Você pode obter soluções expressas por integrais elípticas, mas para ter um valor numérico, você precisa expandir essas integrais em séries de potências. Um resultado exato exigiria termos infinitos dessas séries.

Felizmente, o gênio matemático hindu Ramanujan, que viveu entre 1887 e 1920, encontrou uma fórmula que se aproxima com muita precisão do perímetro de uma elipse:

O perímetro de uma elipse com r = 3 cm es = 2,24 cm é 16,55 cm. No entanto, o arco elíptico mostrado tem metade desse valor:

Comprimento do arco elíptico GH = 8,28 cm.

Referências

1. Clemens S. 2008. Geometria e Trigonometria. Pearson Education.
2. García F. Procedimentos numéricos em Java. Comprimento de uma elipse. Recuperado de: sc.ehu.es
3. Geometria dinâmica. Arcos. Recuperado de geometriadinamica.es
4. Piziadas. Elipses e parábolas ao nosso redor. Recuperado de: piziadas.com
5. Wikipedia. Arco (geometria). Recuperado de: es.wikipedia.com