COMO VOCÊ ENCONTRA A ÁREA DE UM PENTÁGONO? - MATEMÁTICAS - 2025

A área de um pentágono é calculada usando um método conhecido como triangulação, que pode ser aplicado a qualquer polígono. Este método consiste em dividir o pentágono em vários triângulos.

Depois disso, a área de cada triângulo é calculada e finalmente todas as áreas encontradas são somadas. O resultado será a área do pentágono.

O pentágono também pode ser dividido em outras formas geométricas, como um trapézio e um triângulo, como a figura à direita.

O problema é que o comprimento da base maior e a altura do trapézio não são fáceis de calcular. Além disso, a altura do triângulo vermelho deve ser calculada.

Como encontrar a área de um pentágono?

O método geral para calcular a área de um pentágono é a triangulação, mas o método pode ser direto ou um pouco mais longo, dependendo se o pentágono é regular ou não.

Área de um pentágono regular

Antes de calcular a área é necessário saber o que é o apótema.

O apótema de um pentágono regular (polígono regular) é a menor distância do centro do pentágono (polígono) ao ponto médio de um lado do pentágono (polígono).

Em outras palavras, o apótema é o comprimento do segmento de linha que vai do centro do pentágono ao ponto médio de um lado.

Vamos considerar um pentágono regular tal que o comprimento de seus lados seja "L". Para calcular seu apótema, primeiro divida o ângulo central α pelo número de lados, ou seja, α = 360º / 5 = 72º.

Agora, usando as relações trigonométricas, o comprimento do apótema é calculado conforme mostrado na imagem a seguir.

Portanto, o apótema tem um comprimento de L / 2tan (36º) = L / 1,45.

Ao triangular o pentágono, uma figura como a abaixo será obtida.

Todos os 5 triângulos têm a mesma área (por ser um pentágono regular). Portanto, a área do pentágono é 5 vezes a área de um triângulo. Ou seja: área de um pentágono = 5 * (L * ap / 2).

Substituindo o valor do apótema, obtemos que a área é A = 1,72 * L².

Portanto, para calcular a área de um pentágono regular, você só precisa saber o comprimento de um lado.

Área de um pentágono irregular

Partimos de um pentágono irregular, de modo que os comprimentos de seus lados são L1, L2, L3, L4 e L5. Neste caso, o apótema não pode ser usado como antes.

Após fazer a triangulação, uma figura como a seguinte é obtida:

Agora vamos desenhar e calcular as alturas desses 5 triângulos internos.

Portanto, as áreas dos triângulos internos são T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 e T5 = L5 * h5 / 2.

Os valores para h1, h2, h3, h4 e h5 são as alturas de cada triângulo, respectivamente.

Finalmente, a área do pentágono é a soma dessas 5 áreas. Ou seja, A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.

Como você pode ver, calcular a área de um pentágono irregular é mais complexo do que calcular a área de um pentágono regular.

Determinante gaussiano

Existe também outro método pelo qual a área de qualquer polígono irregular pode ser calculada, conhecido como determinante gaussiano.

Este método consiste em desenhar o polígono no plano cartesiano, em seguida, são calculadas as coordenadas de cada vértice.

Os vértices são enumerados no sentido anti-horário e finalmente certos determinantes são calculados para finalmente obter a área do polígono em questão.

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